Упр.318 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) 1/4^5; 2) 1/21^3; 3) 1/x^7; 4) 1/a^9.
Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь:
1) 0,(6); 2) 0,(7); 3) 4,1(25); 4) 2,3(81).

1) Представим дроби в виде степеней с отрицательным показателем:

$$\frac{1}{4^5}=4^{-5}, \qquad \frac{1}{21^3}=21^{-3}, \qquad \frac{1}{x^7}=x^{-7}, \qquad \frac{1}{a^9}=a^{-9}.$$

2) Запишем периодические дроби в виде обыкновенных:

$$0,(6)=\frac{2}{3}.$$

Пусть $$x=0,6666\ldots$$ Тогда

$$10x=6,6666\ldots$$

Вычтем первое равенство из второго:

$$9x=6,$$

$$x=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}.$$

$$0,(7)=\frac{7}{9}.$$

Пусть $$x=0,7777\ldots$$ Тогда

$$10x=7,7777\ldots$$

Вычтем первое равенство из второго:

$$9x=7,$$

$$x=\frac{7}{9}.$$

$$4,1(25)=4\frac{62}{495}.$$

Пусть $$x=4,12525\ldots$$ Тогда

$$10x=41,2525\ldots$$

$$1000x=4125,2525\ldots$$

Вычтем второе равенство из третьего:

$$990x=4084,$$

$$x=\frac{4084}{990}=4\frac{124}{990}=4\frac{62}{495}.$$

$$2,3(81)=2\frac{21}{55}.$$

Пусть $$x=2,38181\ldots$$ Тогда

$$10x=23,8181\ldots$$

$$1000x=2381,8181\ldots$$

Вычтем второе равенство из третьего:

$$990x=2358,$$

$$x=\frac{2358}{990}=2\frac{378}{990}=2\frac{21}{55}.$$

Ответ

$$\frac{1}{4^5}=4^{-5}, \quad \frac{1}{21^3}=21^{-3}, \quad \frac{1}{x^7}=x^{-7}, \quad \frac{1}{a^9}=a^{-9};$$

$$0,(6)=\frac{2}{3}, \quad 0,(7)=\frac{7}{9}, \quad 4,1(25)=4\frac{62}{495}, \quad 2,3(81)=2\frac{21}{55}.$$