Упр.310 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Скорость течения реки равна $$a$$ километрам в час. С какой постоянной скоростью относительно воды должен двигаться катер, чтобы путь между пристанями он прошел вниз по течению реки по крайней мере в 3 раза быстрее, чем тот же путь вверх по течению реки?
2. Вычислить: 1) $$7-\sqrt{25}$$; 2) $$\sqrt{16}-9$$; 3) $$4\cdot\sqrt{0{,}01}$$; 4) $$\frac{1}{3}\cdot\sqrt{0{,}81}$$; 5) $$0{,}25\cdot\sqrt{0{,}25}$$.

Пусть скорость катера относительно воды равна $$x$$ км/ч. Тогда:

по течению скорость катера равна $$x+a$$ км/ч,

против течения — $$x-a$$ км/ч.

Пусть расстояние между пристанями равно $$1$$. Тогда время движения:

вниз по течению: $$\frac{1}{x+a}$$ ч,

вверх по течению: $$\frac{1}{x-a}$$ ч.

По условию вниз по течению катер должен пройти путь по крайней мере в 3 раза быстрее, чем вверх по течению, значит

$$\frac{1}{x-a}\ge 3\cdot \frac{1}{x+a}.$$

Решим неравенство:

$$\frac{1}{x-a}-\frac{3}{x+a}\ge 0$$

$$\frac{x+a-3x+3a}{(x-a)(x+a)}\ge 0$$

$$\frac{4a-2x}{(x-a)(x+a)}\ge 0$$

Так как скорость катера должна быть больше скорости течения, то $$x>a$$. При этом знаменатель положителен, поэтому достаточно решить

$$4a-2x\ge 0,$$

откуда

$$x\le 2a.$$

С учётом условия $$x>a$$ получаем:

$$a<x\le 2a.$$

Значит, скорость катера относительно воды должна быть больше $$a$$ км/ч, но не больше $$2a$$ км/ч.

Вычислим:

1) $$7-\sqrt{25}=7-5=2;$$

2) $$\sqrt{16}-9=4-9=-5;$$

3) $$4\cdot \sqrt{0{,}01}=4\cdot 0{,}1=0{,}4;$$

4) $$\frac{1}{3}\cdot \sqrt{0{,}81}=\frac{1}{3}\cdot 0{,}9=0{,}3;$$

5) $$0{,}25\cdot \sqrt{0{,}25}=0{,}25\cdot 0{,}5=0{,}125.$$

Ответ

Скорость катера: $$a<x\le 2a$$ км/ч.

1) $$2$$; 2) $$-5$$; 3) $$0{,}4$$; 4) $$0{,}3$$; 5) $$0{,}125$$.