Упр.303 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Ответ проиллюстрировать с помощью графиков данных функций, построенных на одной координатной плоскости. Упростить выражение и найти его числовое значение с точностью до 0,0001:
1) (a^2+12)/(a^2-4)-(a+2)/(a-2) при a=4,31•?10?^3;
2) (a+b)/(a+2b) :(a/(a-2b)+b^2/(a^2-4b^2 )) при a=3,78•?10?^4; b=4,23•?10?^4.

Подробный ответ

1) Для функций $$y=-x+1$$ и $$y=x+2$$ найдём, при каких значениях $$x$$ они одновременно:

положительны:
$$ \begin{cases} -x+1>0 \\ x+2>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<1 \\ x>-2 \end{cases} $$
Следовательно, $$-2<x<1$$.
отрицательны:
$$ \begin{cases} -x+1<0 \\ x+2<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>1 \\ x<-2 \end{cases} $$
Таких значений $$x$$ нет.
больше 1:
$$ \begin{cases} -x+1>1 \\ x+2>1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<0 \\ x>-1 \end{cases} $$
Следовательно, $$-1<x<0$$.
больше 2:
$$ \begin{cases} -x+1>2 \\ x+2>2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<-1 \\ x>0 \end{cases} $$
Таких значений $$x$$ нет.

Графики прямых $$y=-x+1$$ и $$y=x+2$$ пересекаются в точке $$(-0{,}5;\,1{,}5)$$ и на одной координатной плоскости подтверждают полученные промежутки.

2) Упростим выражение

$$ \frac{a^2+12}{a^2-4}-\frac{a+2}{a-2} $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{a^2+12}{a^2-4}-\frac{a+2}{a-2} = \frac{a^2+12-(a+2)^2}{a^2-4} $$

$$ = \frac{a^2+12-a^2-4a-4}{a^2-4} = \frac{8-4a}{a^2-4} = \frac{-4(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{-4}{a+2} $$

При $$a=4{,}31\cdot 10^3$$ получаем:

$$ \frac{-4}{a+2}=\frac{-4}{4312}\approx -0{,}0009 $$

3) Упростим выражение

$$ \frac{a+b}{a+2b}:\left(\frac{a}{a-2b}+\frac{b^2}{a^2-4b^2}\right) $$

Сначала преобразуем скобки:

$$ \frac{a}{a-2b}+\frac{b^2}{a^2-4b^2} = \frac{a(a+2b)+b^2}{(a-2b)(a+2b)} = \frac{a^2+2ab+b^2}{(a-2b)(a+2b)} = \frac{(a+b)^2}{(a-2b)(a+2b)} $$

Тогда

$$ \frac{a+b}{a+2b}:\frac{(a+b)^2}{(a-2b)(a+2b)} = \frac{a+b}{a+2b}\cdot \frac{(a-2b)(a+2b)}{(a+b)^2} = \frac{a-2b}{a+b} $$

При $$a=3{,}78\cdot 10^4$$, $$b=4{,}23\cdot 10^4$$:

$$ \frac{a-2b}{a+b} = \frac{3{,}78\cdot 10^4-2\cdot 4{,}23\cdot 10^4}{3{,}78\cdot 10^4+4{,}23\cdot 10^4} = \frac{-4{,}68\cdot 10^4}{8{,}01\cdot 10^4} \approx -0{,}5843 $$