Упр.30 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (m+n)/(2m-2n) и (n^2+m^2)/(m^2-n^2 );
2) (a-b)/(5a+5b) и (a^2+b)/(a^2-b^2 );
3) 7/(x-y)^2 и 5/(x-y);
4) 5c/(c-2)^2 и 6/(c-2).
Доказать, что при любых значениях a верно неравенство:
1) a^2>(a+1)(a-1); 2) (a+2)(a+4)>(a+1)(a+5).

1. Приведём дроби к общему знаменателю:

   $$\frac{m+n}{2m-2n}=\frac{m+n}{2(m-n)}, \qquad \frac{n^2+m^2}{m^2-n^2}=\frac{n^2+m^2}{(m-n)(m+n)}.$$

   Общий знаменатель: $$2(m-n)(m+n).$$ Тогда

   $$\frac{m+n}{2m-2n}=\frac{(m+n)^2}{2(m-n)(m+n)}, \qquad \frac{n^2+m^2}{m^2-n^2}=\frac{2(n^2+m^2)}{2(m-n)(m+n)}.$$

2. $$\frac{a-b}{5a+5b}=\frac{a-b}{5(a+b)}, \qquad \frac{a^2+b}{a^2-b^2}=\frac{a^2+b}{(a-b)(a+b)}.$$

   Общий знаменатель: $$5(a-b)(a+b).$$ Тогда

   $$\frac{a-b}{5a+5b}=\frac{(a-b)^2}{5(a^2-b^2)}, \qquad \frac{a^2+b}{a^2-b^2}=\frac{5(a^2+b)}{5(a^2-b^2)}.$$

3. $$\frac{7}{(x-y)^2} \text{ и } \frac{5}{x-y}.$$

   Общий знаменатель: $$ (x-y)^2. $$ Тогда

   $$\frac{7}{(x-y)^2}=\frac{7}{(x-y)^2}, \qquad \frac{5}{x-y}=\frac{5(x-y)}{(x-y)^2}.$$

4. $$\frac{5c}{(c-2)^2} \text{ и } \frac{6}{c-2}.$$

   Общий знаменатель: $$ (c-2)^2. $$ Тогда

   $$\frac{5c}{(c-2)^2}=\frac{5c}{(c-2)^2}, \qquad \frac{6}{c-2}=\frac{6(c-2)}{(c-2)^2}.$$

5. Докажем неравенство:

   $$a^2>(a+1)(a-1).$$

   $$a^2-(a+1)(a-1)=a^2-(a^2-1)=1>0,$$

   значит, неравенство верно при любых значениях $$a$$.

6. Докажем неравенство:

   $$(a+2)(a+4)>(a+1)(a+5).$$

   $$(a+2)(a+4)-(a+1)(a+5)=a^2+6a+8-(a^2+6a+5)=3>0,$$

   значит, неравенство верно при любых значениях $$a$$.

Ответ

1) $$\frac{(m+n)^2}{2(m-n)(m+n)}$$ и $$\frac{2(n^2+m^2)}{2(m-n)(m+n)}$$;
2) $$\frac{(a-b)^2}{5(a^2-b^2)}$$ и $$\frac{5(a^2+b)}{5(a^2-b^2)}$$;
3) $$\frac{7}{(x-y)^2}$$ и $$\frac{5(x-y)}{(x-y)^2}$$;
4) $$\frac{5c}{(c-2)^2}$$ и $$\frac{6(c-2)}{(c-2)^2}$$;
5) $$a^2>(a+1)(a-1)$$ — верно при любых $$a$$;
6) $$(a+2)(a+4)>(a+1)(a+5)$$ — верно при любых $$a$$.