Упр.290 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) 9x^2+1?6x при любом x;
2) x+1/16x?1/2 при x>0;
3) x/2+5?-25/2x при x<0; 4) (2x-1)(2x+1)/(x-3)>1/(3-x) при x>3.
Чтобы найти диаметр проволоки, ее намотали на стержень, укладывая витки рядом друг с другом. Оказалось, что 22 витка заняли 8 мм по длине стержня. Найти диаметр проволоки.

1) Преобразуем неравенство:

$$9x^2+1\ge 6x$$

$$9x^2-6x+1\ge 0$$

$$\left(3x-1\right)^2\ge 0$$

Квадрат любого числа неотрицателен, значит неравенство верно при любом $$x$$.

2) При $$x>0$$:

$$x+\frac{1}{16x}\ge \frac12$$

$$x+\frac{1}{16x}-\frac12\ge 0$$

$$\frac{16x^2-8x+1}{16x}\ge 0$$

$$\frac{(4x-1)^2}{16x}\ge 0$$

Так как $$x>0$$, то $$16x>0$$, а числитель неотрицателен. Следовательно, неравенство верно.

3) При $$x<0$$:

$$\frac{x}{2}+5\le -\frac{25}{2x}$$

$$\frac{x}{2}+5+\frac{25}{2x}\le 0$$

$$\frac{x^2+10x+25}{2x}\le 0$$

$$\frac{(x+5)^2}{2x}\le 0$$

Так как $$x<0$$, то $$2x<0$$, а $$\left(x+5\right)^2\ge 0$$. Значит, неравенство верно.

4) При $$x>3$$:

$$\frac{(2x-1)(2x+1)}{x-3}>\frac{1}{3-x}$$

Так как $$\frac{1}{3-x}=-\frac{1}{x-3}$$, получаем:

$$\frac{(2x-1)(2x+1)}{x-3}+\frac{1}{x-3}>0$$

$$\frac{(2x-1)(2x+1)+1}{x-3}>0$$

$$\frac{4x^2-1+1}{x-3}>0$$

$$\frac{4x^2}{x-3}>0$$

Так как $$x>3$$, то $$x-3>0$$, а $$4x^2\ge 0$$. Следовательно, неравенство верно.

Диаметр проволоки равен:

$$\frac{8}{22}\approx 0{,}4\text{ мм}$$

Ответ

1) верно при любом $$x$$; 2) верно при $$x>0$$; 3) верно при $$x<0$$; 4) верно при $$x>3$$; диаметр проволоки $$0{,}4$$ мм.