Упр.27 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) 1/(2p^2 ), 1/6pk и 1/(3k^2 );
2) 1/(6b^2 ), (a^2+b^2)/(9a^2 b^2 ) и (3-a)/(18ab^2 );
3) 2a/b^2 , 4/(15a^2 b) и 3/(20a^3 b^4 );
4) 7/(20x^4 y), 31/(6xy^3) и 4/(3x^2 y^4 ).
Доказать, что:
1) (a-1)/(a+1) :1/(a^2+2a+1)+1>0, если a>0;
2) (3a^2+4a+1)/(a+1)^2 -(a-1)/(a+1)>0, если a?-1.

1. Приведём дроби к общему знаменателю $$6p^2k^2$$:

   $$\frac{1}{2p^2}=\frac{3k^2}{6p^2k^2},\qquad \frac{1}{6pk}=\frac{pk}{6p^2k^2},\qquad \frac{1}{3k^2}=\frac{2p^2}{6p^2k^2}.$$

2. Приведём дроби к общему знаменателю $$18a^2b^2$$:

   $$\frac{1}{6b^2}=\frac{3a^2}{18a^2b^2},\qquad \frac{a^2+b^2}{9a^2b^2}=\frac{2(a^2+b^2)}{18a^2b^2},\qquad \frac{3-a}{18ab^2}=\frac{a(3-a)}{18a^2b^2}.$$

3. Приведём дроби к общему знаменателю $$60a^3b^4$$:

   $$\frac{2a}{b^2}=\frac{120a^4b^2}{60a^3b^4},\qquad \frac{4}{15a^2b}=\frac{16ab^3}{60a^3b^4},\qquad \frac{3}{20a^3b^4}=\frac{9}{60a^3b^4}.$$

4. Приведём дроби к общему знаменателю $$60x^4y^4$$:

   $$\frac{7}{20x^4y}=\frac{21y^3}{60x^4y^4},\qquad \frac{31}{6xy^3}=\frac{310x^3y}{60x^4y^4},\qquad \frac{4}{3x^2y^4}=\frac{80x^2}{60x^4y^4}.$$

5. Докажем, что

   $$\frac{a-1}{a+1}:\frac{1}{a^2+2a+1}+1>0,\qquad a>0.$$

   Так как $$a^2+2a+1=(a+1)^2,$$ то
   $$\frac{a-1}{a+1}:\frac{1}{a^2+2a+1}+1 =\frac{a-1}{a+1}\cdot(a+1)^2+1 =(a-1)(a+1)+1 =a^2>0.$$

6. Докажем, что

   $$\frac{3a^2+4a+1}{(a+1)^2}-\frac{a-1}{a+1}>0,\qquad a\ne -1.$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{3a^2+4a+1-(a-1)(a+1)}{(a+1)^2} =\frac{3a^2+4a+1-a^2+1}{(a+1)^2} =\frac{2a^2+4a+2}{(a+1)^2} =\frac{2(a+1)^2}{(a+1)^2}=2>0.$$

Ответ

1) $$\frac{3k^2}{6p^2k^2},\ \frac{pk}{6p^2k^2},\ \frac{2p^2}{6p^2k^2}$$;
2) $$\frac{3a^2}{18a^2b^2},\ \frac{2(a^2+b^2)}{18a^2b^2},\ \frac{a(3-a)}{18a^2b^2}$$;
3) $$\frac{120a^4b^2}{60a^3b^4},\ \frac{16ab^3}{60a^3b^4},\ \frac{9}{60a^3b^4}$$;
4) $$\frac{21y^3}{60x^4y^4},\ \frac{310x^3y}{60x^4y^4},\ \frac{80x^2}{60x^4y^4}$$;
5) $$a^2>0$$;
6) $$2>0$$.