Упр.263 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Доказать, что:
1) $$|a\cdot b|=|a|\cdot|b|$$ при любых $$a$$ и $$b$$;
2) $$|a^n|=|a|^n$$ при любом $$a$$ и любом натуральном $$n$$;
3) $$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}$$ при любом $$a$$ и любом $$b\ne0$$;
4) $$|a^n|=a^n$$ при любом $$a$$, если $$n$$ — чётное натуральное число;
5) $$|a^n|=-a^n$$, если $$a<0$$ и $$n$$ — нечётное натуральное число. - Записать число в стандартном виде, назвать его знак, мантиссу, знак порядка и порядок:
1) $$-0{,}35$$;
2) $$-23{,}4578$$;
3) $$-450{,}102$$;
4) $$-87\,654\,321$$;
5) $$-0{,}453$$;
6) $$-3{,}54001$$;
7) $$-6814{,}1234$$;
8) $$-12345{,}678$$.
Так как $$|a|\ge 0$$ и $$|b|\ge 0,$$ то $$|a|\cdot|b|\ge 0.$$ Модуль произведения тоже неотрицателен, значит
$$|a\cdot b|=|a|\cdot|b|.$$
Если $$a\ge 0,$$ то $$|a^n|=a^n=|a|^n.$$
Если $$a<0,$$ то при чётном $$n$$ число $$a^n>0,$$ поэтому
$$|a^n|=a^n=|a|^n.$$
При нечётном $$n$$ число $$a^n<0,$$ и тогда
$$|a^n|=-a^n=|a|^n.$$
Следовательно, $$|a^n|=|a|^n.$$
При $$b\ne 0$$ имеем
$$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}.$$
Если $$n$$ — чётное натуральное число, то $$a^n\ge 0,$$ значит
$$|a^n|=a^n.$$
Если $$a<0$$ и $$n$$ — нечётное натуральное число, то $$a^n<0,$$ поэтому
$$|a^n|=-a^n.$$
Запишем числа в стандартном виде:
- $$-0{,}35=-3{,}5\cdot 10^{-1}$$; знак числа — $$-$$; мантисса $$-3{,}5$$; знак порядка — $$-$$; порядок $$1$$.
- $$-23{,}4578=-2{,}34578\cdot 10^{1}$$; знак числа — $$-$$; мантисса $$-2{,}34578$$; знак порядка — $$+$$; порядок $$1$$.
- $$-450{,}102=-4{,}50102\cdot 10^{2}$$; знак числа — $$-$$; мантисса $$-4{,}50102$$; знак порядка — $$+$$; порядок $$2$$.
- $$-87\,654\,321=-8{,}7654321\cdot 10^{7}$$; знак числа — $$-$$; мантисса $$-8{,}7654321$$; знак порядка — $$+$$; порядок $$7$$.
- $$-0{,}453=-4{,}53\cdot 10^{-1}$$; знак числа — $$-$$; мантисса $$-4{,}53$$; знак порядка — $$-$$; порядок $$1$$.
- $$-3{,}54001=-3{,}54001\cdot 10^{0}$$; знак числа — $$-$$; мантисса $$-3{,}54001$$; знак порядка — $$+$$; порядок $$0$$.
- $$-6814{,}1234=-6{,}8141234\cdot 10^{3}$$; знак числа — $$-$$; мантисса $$-6{,}8141234$$; знак порядка — $$+$$; порядок $$3$$.
- $$-12345{,}678=-1{,}2345678\cdot 10^{4}$$; знак числа — $$-$$; мантисса $$-1{,}2345678$$; знак порядка — $$+$$; порядок $$4$$.
Ответ
1) $$|a\cdot b|=|a|\cdot|b|$$; 2) $$|a^n|=|a|^n$$; 3) $$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}$$; 4) $$|a^n|=a^n$$ при чётном $$n$$; 5) $$|a^n|=-a^n$$ при $$a<0$$ и нечётном $$n$$.
Числа в стандартном виде записаны выше.
