Упр.25 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) 1/2 и 2/3;
2) 5/7 и 3/14;
3) 1/3a и 2/a;
4) a/b и a/2b.
Доказать, что:
1) 1/(a+2)-1/(a+3)>0, если a>0;
2) 1/(a-2)-1/(a-1)>0, если a<0; 3) 2/(3a+2)-1/(a+1)<0, если a>0;
4) 1/(1-a)-3/(3-2a)<0, если a<0.

1. Приведём дроби к общему знаменателю:

   $$\frac12=\frac36,\qquad \frac23=\frac46.$$

2. Приведём дроби к общему знаменателю:

   $$\frac57=\frac{10}{14},\qquad \frac3{14}=\frac3{14}.$$

3. Приведём дроби к общему знаменателю $$3a$$:

   $$\frac1{3a}=\frac1{3a},\qquad \frac2a=\frac6{3a}.$$

4. Приведём дроби к общему знаменателю $$2b$$:

   $$\frac ab=\frac{2a}{2b},\qquad \frac a{2b}=\frac a{2b}.$$

5. $$\frac1{a+2}-\frac1{a+3}=\frac{a+3-(a+2)}{(a+2)(a+3)}=\frac1{(a+2)(a+3)}.$$

   При $$a>0$$ числа $$a+2$$ и $$a+3$$ положительны, значит
   $$\frac1{(a+2)(a+3)}>0.$$

6. $$\frac1{a-2}-\frac1{a-1}=\frac{a-1-(a-2)}{(a-2)(a-1)}=\frac1{(a-2)(a-1)}.$$

   При $$a<0$$ числа $$a-2$$ и $$a-1$$ отрицательны, поэтому их произведение положительно:
   $$\frac1{(a-2)(a-1)}>0.$$

7. $$\frac2{3a+2}-\frac1{a+1}=\frac{2(a+1)-(3a+2)}{(3a+2)(a+1)}=\frac{-a}{(3a+2)(a+1)}.$$

   При $$a>0$$ имеем $$3a+2>0$$ и $$a+1>0$$, а значит знаменатель положителен, числитель $$-a<0$$. Следовательно,
   $$\frac{-a}{(3a+2)(a+1)}<0.$$

8. $$\frac1{1-a}-\frac3{3-2a}=\frac{3-2a-3(1-a)}{(1-a)(3-2a)}=\frac a{(1-a)(3-2a)}.$$

   При $$a<0$$ числа $$1-a$$ и $$3-2a$$ положительны, а $$a<0$$. Значит,
   $$\frac a{(1-a)(3-2a)}<0.$$

Ответ

1) $$\frac36$$ и $$\frac46$$; 2) $$\frac{10}{14}$$ и $$\frac3{14}$$; 3) $$\frac1{3a}$$ и $$\frac6{3a}$$; 4) $$\frac{2a}{2b}$$ и $$\frac a{2b}$$; 5) верно; 6) верно; 7) верно; 8) верно.