Упр.25 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Привести дроби к общему знаменателю:
   1) $$\frac{1}{2}$$ и $$\frac{2}{3}$$;
   2) $$\frac{5}{7}$$ и $$\frac{3}{14}$$;
   3) $$\frac{1}{3a}$$ и $$\frac{2}{a}$$;
   4) $$\frac{a}{b}$$ и $$\frac{a}{2b}$$.
2. Доказать, что:
   1) $$\frac{1}{a+2}-\frac{1}{a+3}>0$$, если $$a>0$$;
   2) $$\frac{1}{a-2}-\frac{1}{a-1}>0$$, если $$a<0$$;
   3) $$\frac{2}{3a+2}-\frac{1}{a+1}<0$$, если $$a>0$$;
   4) $$\frac{1}{1-a}-\frac{3}{3-2a}<0$$, если $$a<0$$.

1. Приведём дроби к общему знаменателю:

   $$\frac12=\frac36,\qquad \frac23=\frac46.$$

2. Приведём дроби к общему знаменателю:

   $$\frac57=\frac{10}{14},\qquad \frac3{14}=\frac3{14}.$$

3. Приведём дроби к общему знаменателю $$3a$$:

   $$\frac1{3a}=\frac1{3a},\qquad \frac2a=\frac6{3a}.$$

4. Приведём дроби к общему знаменателю $$2b$$:

   $$\frac ab=\frac{2a}{2b},\qquad \frac a{2b}=\frac a{2b}.$$

5. $$\frac1{a+2}-\frac1{a+3}=\frac{a+3-(a+2)}{(a+2)(a+3)}=\frac1{(a+2)(a+3)}.$$

   При $$a>0$$ числа $$a+2$$ и $$a+3$$ положительны, значит
   $$\frac1{(a+2)(a+3)}>0.$$

6. $$\frac1{a-2}-\frac1{a-1}=\frac{a-1-(a-2)}{(a-2)(a-1)}=\frac1{(a-2)(a-1)}.$$

   При $$a<0$$ числа $$a-2$$ и $$a-1$$ отрицательны, поэтому их произведение положительно:
   $$\frac1{(a-2)(a-1)}>0.$$

7. $$\frac2{3a+2}-\frac1{a+1}=\frac{2(a+1)-(3a+2)}{(3a+2)(a+1)}=\frac{-a}{(3a+2)(a+1)}.$$

   При $$a>0$$ имеем $$3a+2>0$$ и $$a+1>0$$, а значит знаменатель положителен, числитель $$-a<0$$. Следовательно,
   $$\frac{-a}{(3a+2)(a+1)}<0.$$

8. $$\frac1{1-a}-\frac3{3-2a}=\frac{3-2a-3(1-a)}{(1-a)(3-2a)}=\frac a{(1-a)(3-2a)}.$$

   При $$a<0$$ числа $$1-a$$ и $$3-2a$$ положительны, а $$a<0$$. Значит,
   $$\frac a{(1-a)(3-2a)}<0.$$

Ответ

1) $$\frac36$$ и $$\frac46$$; 2) $$\frac{10}{14}$$ и $$\frac3{14}$$; 3) $$\frac1{3a}$$ и $$\frac6{3a}$$; 4) $$\frac{2a}{2b}$$ и $$\frac a{2b}$$; 5) верно; 6) верно; 7) верно; 8) верно.