Упр.24 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Задание учебника 2024 года. Сократить дробь:

1) $$\frac{|a|}{2a}$$, если $$a>0$$;

2) $$\frac{3a}{|a|}$$, если $$a<0$$;
3) $$\frac{-2a}{|a|}$$, если $$a<0$$;
4) $$\frac{|a|}{-3a}$$, если $$a>0$$.
Задание учебника 2013 года. Решить уравнение:

1) $$\frac{x}{x-5}-\frac{x-2}{x-6}=0$$;

2) $$\frac{x+1}{x-2}+\frac{1-x}{x+3}=0$$;

3) $$\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^2-1}=0$$;

4) $$\frac{1}{x-3}-\frac{1}{(x-2)(x-3)}=0$$.

Подробный ответ

$$\frac{|a|}{2a}, \quad a>0$$
Так как $$a>0,$$ то $$|a|=a.$$ Тогда
$$\frac{|a|}{2a}=\frac{a}{2a}=\frac12.$$
$$\frac{3a}{|a|}, \quad a<0$$
Так как $$a<0,$$ то $$|a|=-a.$$ Тогда
$$\frac{3a}{|a|}=\frac{3a}{-a}=-3.$$
$$\frac{-2a}{|a|}, \quad a<0$$
Так как $$a<0,$$ то $$|a|=-a.$$ Тогда
$$\frac{-2a}{|a|}=\frac{-2a}{-a}=2.$$
$$\frac{|a|}{-3a}, \quad a>0$$
Так как $$a>0,$$ то $$|a|=a.$$ Тогда
$$\frac{|a|}{-3a}=\frac{a}{-3a}=-\frac13.$$

$$\frac{x}{x-5}-\frac{x-2}{x-6}=0$$
ОДЗ: $$x\ne 5,$$ $$x\ne 6.$$ Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{x(x-6)-(x-2)(x-5)}{(x-5)(x-6)}=0$$
$$x^2-6x-(x^2-7x+10)=0$$
$$x-10=0$$
$$x=10.$$
$$\frac{x+1}{x-2}+\frac{1-x}{x+3}=0$$
ОДЗ: $$x\ne 2,$$ $$x\ne -3.$$ Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(x+1)(x+3)+(1-x)(x-2)}{(x-2)(x+3)}=0$$
$$x^2+4x+3+x-2-x^2+3x-2=0$$
$$7x-1=0$$
$$x=\frac17.$$
$$\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^2-1}=0$$
ОДЗ: $$x^2-1\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pm 1.$$ Так как $$x^2-1=(x-1)(x+1),$$ получаем
$$\frac{x+1-2}{x^2-1}=0$$
$$\frac{x-1}{x^2-1}=0.$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:
$$x-1=0 \Rightarrow x=1,$$ но это не входит в ОДЗ.
Следовательно, корней нет.
$$\frac{1}{x-3}-\frac{1}{(x-2)(x-3)}=0$$
ОДЗ: $$x\ne 2,$$ $$x\ne 3.$$ Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{x-2-1}{(x-2)(x-3)}=0$$
$$\frac{x-3}{(x-2)(x-3)}=0.$$
Числитель равен нулю при $$x=3,$$ но это не входит в ОДЗ. Значит, корней нет.