Упр.23 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (3a^3+ab^2-6a^2 b-2b^3)/(9a^5-ab^4-18a^4 b+2b^5 ) при a=0,2, b=0,4;
2) (3ac^2+3bc^2-3ab^2-3b^3)/(6ac^2+6bc^2-6ab^2-6b^3 ) при a=4,49, b=-5,1, c=0,68.
Решить уравнение:
1) (x^2-1)/(x+2)=0;
2) (x^2-49)/(x-1)=0;
3) (3x^2+x)/(x-5)=0;
4) (x-5x^2)/(x+3)=0.

Подробный ответ

1) Упростим выражение:

$$ \frac{3a^3+ab^2-6a^2b-2b^3}{9a^5-ab^4-18a^4b+2b^5} = \frac{a(3a^2+b^2)-2b(3a^2+b^2)}{a(9a^4-b^4)-2b(9a^4-b^4)} $$
$$ = \frac{(3a^2+b^2)(a-2b)}{(9a^4-b^4)(a-2b)} = \frac{3a^2+b^2}{9a^4-b^4} = \frac{1}{3a^2-b^2}. $$

Подставим $$a=0{,}2$$, $$b=0{,}4$$:

$$ \frac{1}{3a^2-b^2} = \frac{1}{3\cdot 0{,}2^2-0{,}4^2} = \frac{1}{3\cdot 0{,}04-0{,}16} = \frac{1}{0{,}12-0{,}16} = \frac{1}{-0{,}04} = -25. $$

2) Упростим выражение:

$$ \frac{3ac^2+3bc^2-3ab^2-3b^3}{6ac^2+6bc^2-6ab^2-6b^3} = \frac{3c^2(a+b)-3b^2(a+b)}{6c^2(a+b)-6b^2(a+b)} $$
$$ = \frac{(a+b)(3c^2-3b^2)}{(a+b)(6c^2-6b^2)} = \frac{3(c^2-b^2)}{6(c^2-b^2)} = \frac{1}{2}. $$

При этом $$a+b\neq 0$$ и $$c^2-b^2\neq 0$$.

Подставим $$a=4{,}49$$, $$b=-5{,}1$$, $$c=0{,}68$$:

$$ a+b=4{,}49-5{,}1=-0{,}61\neq 0, $$
$$ c^2-b^2=0{,}68^2-(-5{,}1)^2=0{,}4624-26{,}01\neq 0. $$

Значение выражения равно $$\frac{1}{2}=0{,}5$$.

3) Решим уравнения.

$$\frac{x^2-1}{x+2}=0$$
ОДЗ: $$x\neq -2$$.
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:
$$x^2-1=0$$
$$ (x-1)(x+1)=0 $$
$$ x=1 \text{ или } x=-1 $$
Оба значения подходят.
$$\frac{x^2-49}{x-1}=0$$
ОДЗ: $$x\neq 1$$.
$$x^2-49=0$$
$$ (x-7)(x+7)=0 $$
$$ x=7 \text{ или } x=-7 $$
Оба значения подходят.
$$\frac{3x^2+x}{x-5}=0$$
ОДЗ: $$x\neq 5$$.
$$3x^2+x=0$$
$$x(3x+1)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=-\frac{1}{3}$$
Оба значения подходят.
$$\frac{x-5x^2}{x+3}=0$$
ОДЗ: $$x\neq -3$$.
$$x-5x^2=0$$
$$x(1-5x)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=\frac{1}{5}$$
Оба значения подходят.