Упр.23 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) Упростим выражение:

$$\frac{3a^3+ab^2-6a^2b-2b^3}{9a^5-ab^4-18a^4b+2b^5} = \frac{a(3a^2+b^2)-2b(3a^2+b^2)}{a(9a^4-b^4)-2b(9a^4-b^4)}$$
$$= \frac{(3a^2+b^2)(a-2b)}{(9a^4-b^4)(a-2b)} = \frac{3a^2+b^2}{9a^4-b^4} = \frac{1}{3a^2-b^2}.$$

Подставим $$a=0{,}2$$, $$b=0{,}4$$:

$$\frac{1}{3a^2-b^2} = \frac{1}{3\cdot 0{,}2^2-0{,}4^2} = \frac{1}{3\cdot 0{,}04-0{,}16} = \frac{1}{0{,}12-0{,}16} = \frac{1}{-0{,}04} = -25.$$

2) Упростим выражение:

$$\frac{3ac^2+3bc^2-3ab^2-3b^3}{6ac^2+6bc^2-6ab^2-6b^3} = \frac{3c^2(a+b)-3b^2(a+b)}{6c^2(a+b)-6b^2(a+b)}$$
$$= \frac{(a+b)(3c^2-3b^2)}{(a+b)(6c^2-6b^2)} = \frac{3(c^2-b^2)}{6(c^2-b^2)} = \frac{1}{2}.$$

При этом $$a+b\neq 0$$ и $$c^2-b^2\neq 0$$.

Подставим $$a=4{,}49$$, $$b=-5{,}1$$, $$c=0{,}68$$:

$$a+b=4{,}49-5{,}1=-0{,}61\neq 0,$$
$$c^2-b^2=0{,}68^2-(-5{,}1)^2=0{,}4624-26{,}01\neq 0.$$

Значение выражения равно $$\frac{1}{2}=0{,}5$$.

3) Решим уравнения.

1. $$\frac{x^2-1}{x+2}=0$$

   ОДЗ: $$x\neq -2$$.

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

   $$x^2-1=0$$
   $$(x-1)(x+1)=0$$
   $$x=1 \text{ или } x=-1$$

   Оба значения подходят.

2. $$\frac{x^2-49}{x-1}=0$$

   ОДЗ: $$x\neq 1$$.

   $$x^2-49=0$$
   $$(x-7)(x+7)=0$$
   $$x=7 \text{ или } x=-7$$

   Оба значения подходят.

3. $$\frac{3x^2+x}{x-5}=0$$

   ОДЗ: $$x\neq 5$$.

   $$3x^2+x=0$$
   $$x(3x+1)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=-\frac{1}{3}$$

   Оба значения подходят.

4. $$\frac{x-5x^2}{x+3}=0$$

   ОДЗ: $$x\neq -3$$.

   $$x-5x^2=0$$
   $$x(1-5x)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=\frac{1}{5}$$

   Оба значения подходят.

Ответ

1) $$-25$$;
2) $$0{,}5$$;
3) $$x=\pm 1$$;
4) $$x=\pm 7$$;
5) $$x=0,\; -\frac{1}{3}$$;
6) $$x=0,\; \frac{1}{5}$$.