Упр.195 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (x+1)/2-2x?(x-2)/3+x/2;
2) (x-4)/3+3x?x/3-(x+1)/4;
3) (2x-1)/2-2x/5>(3x-2)/5-x/4;
4) (3x+1)/4-x/2<(5x-2)/3+3x/5. Доказать, что если |x-a|=|x-b|,где a

1. $$\frac{x+1}{2}-2x\le \frac{x-2}{3}+\frac{x}{2}$$

   Умножим обе части неравенства на $$6$$:
   $$3(x+1)-12x\le 2(x-2)+3x$$

   $$3x+3-12x\le 2x-4+3x$$
   $$-9x+3\le 5x-4$$
   $$-14x\le -7$$
   $$x\ge \frac{1}{2}$$

2. $$\frac{x-4}{3}+3x\ge \frac{x}{3}-\frac{x+1}{4}$$

   Умножим обе части на $$12$$:
   $$4(x-4)+36x\ge 4x-3(x+1)$$

   $$4x-16+36x\ge 4x-3x-3$$
   $$40x-16\ge x-3$$
   $$39x\ge 13$$
   $$x\ge \frac{13}{39}=\frac{1}{3}$$

3. $$\frac{2x-1}{2}-\frac{2x}{5}>\frac{3x-2}{5}-\frac{x}{4}$$

   Умножим обе части на $$20$$:
   $$10(2x-1)-8x>4(3x-2)-5x$$

   $$20x-10-8x>12x-8-5x$$
   $$12x-10>7x-8$$
   $$5x>2$$
   $$x>\frac{2}{5}$$

4. $$\frac{3x+1}{4}-\frac{x}{2}<\frac{5x-2}{3}+\frac{3x}{5}$$

   Умножим обе части на $$60$$:
   $$15(3x+1)-30x<20(5x-2)+36x$$

   $$45x+15-30x<100x-40+36x$$ $$15x+15<136x-40$$ $$55<121x$$ $$x>\frac{55}{121}=\frac{5}{11}$$

Докажем, что если $$|x-a|=|x-b|$$, где $$a<b$$, то $$x=\frac{a+b}{2}$$.

Так как расстояния от точки $$x$$ до точек $$a$$ и $$b$$ равны, то точка $$x$$ лежит между ними: $$a\le x\le b$$. Тогда
$$|x-a|=x-a,\qquad |x-b|=b-x.$$

По условию:
$$x-a=b-x$$
$$2x=a+b$$
$$x=\frac{a+b}{2}.$$

Ответ

1) $$x\ge \frac{1}{2}$$; 2) $$x\ge \frac{1}{3}$$; 3) $$x>\frac{2}{5}$$; 4) $$x>\frac{5}{11}$$; $$x=\frac{a+b}{2}$$.