Упр.193 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Найти наибольшее целое число, являющееся решением неравенства:
   1. $$5-2x>0$$;
   2. $$6x+5?0$$;
   3. $$3(1-x)>2(2-x)$$;
   4. $$4(2-x)<5(1-x)$$.
2. Скорость течения реки равна $$a$$ километрам в час. С какой постоянной скоростью относительно воды должен двигаться катер, чтобы путь между пристанями он прошел вниз по течению реки по крайней мере в 3 раза быстрее, чем тот же путь вверх по течению реки?

1. $$5-2x>0$$
   
   $$-2x>-5$$
   
   $$x<2{,}5$$
   
   Наибольшее целое число: $$2$$.
2. $$6x+5\le 0$$
   
   $$6x\le -5$$
   
   $$x\le -\frac{5}{6}$$
   
   Наибольшее целое число: $$-1$$.
3. $$3(1-x)>2(2-x)$$
   
   $$3-3x>4-2x$$
   
   $$-x>1$$
   
   $$x<-1$$
   
   Наибольшее целое число: $$-2$$.
4. $$4(2-x)<5(1-x)$$
   
   $$8-4x<5-5x$$
   
   $$x<-3$$
   
   Наибольшее целое число: $$-4$$.

Пусть скорость катера относительно воды равна $$x$$ км/ч, тогда скорость по течению равна $$x+a$$ км/ч, а против течения — $$x-a$$ км/ч.

Пусть расстояние между пристанями равно $$1$$. Тогда время движения по течению равно $$\frac{1}{x+a}$$, а против течения — $$\frac{1}{x-a}$$.

По условию путь вниз по течению должен быть по крайней мере в 3 раза быстрее, чем вверх по течению:

$$\frac{1}{x+a}\le \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x-a}$$

Так как время по течению не больше трети времени против течения, получаем:

$$\frac{1}{x-a}\ge \frac{3}{x+a}$$

При $$x>a$$ обе скорости положительны, поэтому можно умножить на $$\left(x-a\right)\left(x+a\right)$$:

$$x+a\ge 3(x-a)$$

$$x+a\ge 3x-3a$$

$$4a\ge 2x$$

$$x\le 2a$$

С учётом условия движения против течения $$x>a$$ получаем:

$$a<x\le 2a$$

Ответ

1) $$2$$; 2) $$-1$$; 3) $$-2$$; 4) $$-4$$; скорость катера относительно воды должна быть больше $$a$$ км/ч, но не больше $$2a$$ км/ч.