Упр.179 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) 4x^2+1?4x при любом x;
2) a+1/a?2 при a>0;
3) a/b+b/a?2,если ab>0;
4) 1/a?1/b,если a?b и ab>0;
5) 1/a?1/b,если a?b и ab<0; 6) a^2+b^2?1/2,если a+b=1. Решить систему неравенств: 1) {(0,5(x+3)-0,8<0,4(x+2)-0,3 0,7(2-x)+1,3<0,6(1-x)+2,2)+ 2) {(1,5(x-2)-2,1<1,3(x-1)+2,5 1,3(x+3)+1,7>1,6(x+2)+1,8)+
3) {(3,4(x+1)+0,4?1,9(x-2)+1,6
2,8(x+3)-x?2,2(x+4)-1,2)+

1. $$4x^2+1\ge 4x$$
   $$4x^2-4x+1\ge 0$$
   $$\left(2x-1\right)^2\ge 0$$
   Квадрат любого числа неотрицателен, значит неравенство верно при любом $$x$$.

2. $$a+\frac{1}{a}\ge 2,\quad a>0$$
   $$a+\frac{1}{a}-2\ge 0$$
   $$\frac{a^2-2a+1}{a}\ge 0$$
   $$\frac{(a-1)^2}{a}\ge 0$$
   Так как $$a>0$$ и $$\left(a-1\right)^2\ge 0$$, то
   $$a+\frac{1}{a}\ge 2.$$

3. $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2,\quad ab>0$$
   $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge 0$$
   $$\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge 0$$
   $$\frac{(a-b)^2}{ab}\ge 0$$
   Так как $$ab>0$$ и $$\left(a-b\right)^2\ge 0$$, то
   $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2.$$

4. $$\frac{1}{a}\le \frac{1}{b},\quad a\ge b,\ ab>0$$
   $$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\le 0$$
   $$\frac{b-a}{ab}\le 0$$
   Так как $$a\ge b$$, то $$b-a\le 0$$. При этом $$ab>0$$, значит
   $$\frac{1}{a}\le \frac{1}{b}.$$

5. $$\frac{1}{a}\ge \frac{1}{b},\quad a\ge b,\ ab<0$$
   $$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\ge 0$$
   $$\frac{b-a}{ab}\ge 0$$
   Так как $$a\ge b$$, то $$b-a\le 0$$, а $$ab<0$$. Следовательно,
   $$\frac{b-a}{ab}\ge 0,$$
   значит
   $$\frac{1}{a}\ge \frac{1}{b}.$$

6. $$a^2+b^2\ge \frac{1}{2},\quad a+b=1$$
   Подставим $$a=1-b$$:
   $$a^2+b^2=(1-b)^2+b^2=1-2b+b^2+b^2=1-2b+2b^2.$$
   Тогда
   $$a^2+b^2-\frac{1}{2}=1-2b+2b^2-\frac{1}{2}=\frac{4b^2-4b+1}{2}=\frac{(2b-1)^2}{2}\ge 0.$$
   Значит,
   $$a^2+b^2\ge \frac{1}{2}.$$

Ответ

1. $$4x^2+1\ge 4x$$ при любом $$x$$;
2. $$a+\frac{1}{a}\ge 2,\quad a>0$$;
3. $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2,\quad ab>0$$;
4. $$\frac{1}{a}\le \frac{1}{b},\quad a\ge b,\ ab>0$$;
5. $$\frac{1}{a}\ge \frac{1}{b},\quad a\ge b,\ ab<0$$;
6. $$a^2+b^2\ge \frac{1}{2},\quad a+b=1$$.

Ход решения

1. $$0{,}5(x+3)-0{,}8<0{,}4(x+2)-0{,}3$$
   $$0{,}5x+1{,}5-0{,}8<0{,}4x+0{,}8-0{,}3$$
   $$0{,}5x+0{,}7<0{,}4x+0{,}5$$
   $$0{,}1x<-0{,}2$$
   $$x<-2.$$

   $$0{,}7(2-x)+1{,}3<0{,}6(1-x)+2{,}2$$
   $$1{,}4-0{,}7x+1{,}3<0{,}6-0{,}6x+2{,}2$$
   $$2{,}7-0{,}7x<2{,}8-0{,}6x$$
   $$-0{,}1x<0{,}1$$
   $$x>-1.$$

   Пересечение решений:
   $$x<-2 \quad \text{и} \quad x>-1.$$
   Общих решений нет.

2. $$1{,}5(x-2)-2{,}1<1{,}3(x-1)+2{,}5$$
   $$1{,}5x-3-2{,}1<1{,}3x-1{,}3+2{,}5$$
   $$1{,}5x-5{,}1<1{,}3x+1{,}2$$
   $$0{,}2x<6{,}3$$
   $$x<31{,}5.$$

   $$1{,}3(x+3)+1{,}7>1{,}6(x+2)+1{,}8$$
   $$1{,}3x+3{,}9+1{,}7>1{,}6x+3{,}2+1{,}8$$
   $$1{,}3x+5{,}6>1{,}6x+5$$
   $$-0{,}3x>-0{,}6$$
   $$x<2.$$

   Пересечение решений:
   $$x<31{,}5 \quad \text{и} \quad x<2.$$
   Значит,
   $$x<2.$$

3. $$3{,}4(x+1)+0{,}4\ge 1{,}9(x-2)+1{,}6$$
   $$3{,}4x+3{,}4+0{,}4\ge 1{,}9x-3{,}8+1{,}6$$
   $$3{,}4x+3{,}8\ge 1{,}9x-2{,}2$$
   $$1{,}5x\ge -6$$
   $$x\ge -4.$$

   $$2{,}8(x+3)-x\le 2{,}2(x+4)-1{,}2$$
   $$2{,}8x+8{,}4-x\le 2{,}2x+8{,}8-1{,}2$$
   $$1{,}8x+8{,}4\le 2{,}2x+7{,}6$$
   $$0{,}4x\le 0{,}8$$
   $$x\le 2.$$

   Пересечение решений:
   $$x\ge -4 \quad \text{и} \quad x\le 2.$$
   Значит,
   $$x\in[-4;2].$$

Ответ

1. $$\varnothing$$;
2. $$(-\infty;2)$$;
3. $$[-4;2]$$.