Упр.177 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Доказать, что: 1) если $$a-b?4a+5b$$, то $$a?-2b$$; 2) если $$a-2b?5a+4b$$, то $$2a?-3b$$; 3) если $$(x+2)(x-3)?(x+3)(x-2)$$, то $$x?0$$; 4) если $$(x-5)(x+1)?(x+5)(x-1)$$, то $$x?0$$.
2. Пусть $$a>b>0$$. Доказать, что: 1) $$a^3>b^3$$; 2) $$a^3>ab^2$$; 3) $$a^4>a^2b^2$$; 4) $$a^2b^2>b^4$$.

1. Если $$a-b \ge 4a+5b,$$ то

   $$a-b-4a-5b \ge 0$$
   $$-3a-6b \ge 0$$
   $$-3(a+2b) \ge 0$$
   $$a+2b \le 0.$$

2. Если $$a-2b \le 5a+4b,$$ то

   $$a-2b-5a-4b \le 0$$
   $$-4a-6b \le 0$$
   $$2a+3b \ge 0.$$

3. Если $$(x+2)(x-3) \le (x+3)(x-2),$$ то

   $$x^2-x-6 \le x^2+x-6$$
   $$-x \le x$$
   $$-2x \le 0$$
   $$x \ge 0.$$

4. Если $$(x-5)(x+1) \ge (x+5)(x-1),$$ то

   $$x^2-4x-5 \ge x^2+4x-5$$
   $$-4x \ge 4x$$
   $$-8x \ge 0$$
   $$x \le 0.$$

Пусть $$a>b>0.$$ Тогда:

1. $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)>0,$$
   значит, $$a^3>b^3.$$

2. $$a^3-ab^2=a(a^2-b^2)=a(a-b)(a+b)>0,$$
   значит, $$a^3>ab^2.$$

3. $$a^4-a^2b^2=a^2(a^2-b^2)=a^2(a-b)(a+b)>0,$$
   значит, $$a^4>a^2b^2.$$

4. $$a^2b^2-b^4=b^2(a^2-b^2)=b^2(a-b)(a+b)>0,$$
   значит, $$a^2b^2>b^4.$$

Ответ

1) $$a+2b \le 0$$; 2) $$2a+3b \ge 0$$; 3) $$x \ge 0$$; 4) $$x \le 0$$;
при $$a>b>0$$: $$a^3>b^3,$$ $$a^3>ab^2,$$ $$a^4>a^2b^2,$$ $$a^2b^2>b^4.$$