Упр.173 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) x/6?1; 2) x/4<-2. Доказать, что: 1) 9x^2+1?6x при любом x; 2) x+1/16x?1/2 при x>0;
3) x/2+5?-25/2x при x<0; 4) (2x-1)(2x+1)/(x-3)>1/(3-x) при x>3.

1. $$\frac{x}{6}\le 1$$
   
   $$x\le 6$$
   
   Наибольшее целое число: $$6$$.
2. $$\frac{x}{4}<-2$$
   $$x<-8$$
   Наибольшее целое число: $$-9$$.
3. $$9x^2+1\ge 6x$$
   
   $$9x^2-6x+1\ge 0$$
   
   $$\left(3x-1\right)^2\ge 0$$
   
   Это верно при любом $$x$$.
4. $$x+\frac{1}{16x}\ge \frac12,\quad x>0$$
   
   $$x+\frac{1}{16x}-\frac12\ge 0$$
   
   $$\frac{16x^2-8x+1}{16x}\ge 0$$
   
   $$\frac{(4x-1)^2}{16x}\ge 0$$
   
   Так как $$x>0$$, то $$16x>0$$, а $$\left(4x-1\right)^2\ge 0$$. Значит, неравенство верно.
5. $$\frac{x}{2}+5\le -\frac{25}{2x},\quad x<0$$
   
   $$\frac{x}{2}+5+\frac{25}{2x}\le 0$$
   
   $$\frac{x^2+10x+25}{2x}\le 0$$
   
   $$\frac{(x+5)^2}{2x}\le 0$$
   
   Так как $$x<0$$, то $$2x<0$$, а $$\left(x+5\right)^2\ge 0$$. Следовательно, неравенство верно.
6. $$\frac{(2x-1)(2x+1)}{x-3}>\frac{1}{3-x},\quad x>3$$
   
   Так как $$\frac{1}{3-x}=-\frac{1}{x-3}$$, получаем:
   
   $$\frac{(2x-1)(2x+1)}{x-3}+\frac{1}{x-3}>0$$
   
   $$\frac{(2x-1)(2x+1)+1}{x-3}>0$$
   
   $$\frac{4x^2}{x-3}>0$$
   
   При $$x>3$$ числитель $$4x^2\ge 0$$, а знаменатель $$x-3>0$$, значит, неравенство верно.

Ответ

1) $$6$$; 2) $$-9$$; 3) верно при любом $$x$$; 4) верно при $$x>0$$; 5) верно при $$x<0$$; 6) верно при $$x>3$$.