Упр.169 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) a^n>b^n, если n-нечетное натуральное число;
2) a^n

Пусть $$a>b$$ и числа $$a$$, $$b$$ отрицательные.

1) Докажем, что $$a^n>b^n$$, если $$n$$ — нечётное натуральное число.

Так как $$a>b$$, $$a<0$$, $$b<0$$, то $$-a>0$$, $$-b>0$$ и $$-a<-b$$.

Пусть $$n=2k+1$$. Тогда

$$ (-a)^{2k+1}<(-b)^{2k+1} $$
$$ a^{2k+1}>b^{2k+1} $$
$$ a^n>b^n. $$

2) Докажем, что $$a^n<b^n$$, если $$n$$ — чётное натуральное число.

Пусть $$n=2k$$. Тогда

$$ (-a)^{2k}<(-b)^{2k} $$
$$ a^{2k}<b^{2k} $$
$$ a^n<b^n. $$

3) Докажем неравенство $$||a|-|b||\le |a+b|\le |a|+|b|$$ для любых чисел $$a$$ и $$b$$.

Из неравенства треугольника имеем:

$$ |a+b|\le |a|+|b|. $$

Кроме того,

$$ |a|=|(a+b)-b|\le |a+b|+|b|, $$
$$ |a|-|b|\le |a+b|. $$

Аналогично

$$ |b|=|(a+b)-a|\le |a+b|+|a|, $$
$$ |b|-|a|\le |a+b|. $$

Значит,

$$ ||a|-|b||\le |a+b|. $$

Итак,

$$ ||a|-|b||\le |a+b|\le |a|+|b|. $$

Ответ

$$ a^n>b^n \text{ при нечётном } n,\qquad a^n<b^n \text{ при чётном } n, $$
$$ ||a|-|b||\le |a+b|\le |a|+|b|. $$