Упр.169 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Пусть $$a>b$$ и числа $$a$$, $$b$$ отрицательные. Доказать, что:
   1) $$a^n>b^n$$, если $$n$$ — нечётное натуральное число;
   2) $$a^n
2. Доказать, что $$\left||a|-|b|\right|\leq |a+b|\leq |a|+|b|$$ для любых чисел $$a$$ и $$b$$.

Пусть $$a>b$$ и числа $$a$$, $$b$$ отрицательные.

1) Докажем, что $$a^n>b^n$$, если $$n$$ — нечётное натуральное число.

Так как $$a>b$$, $$a<0$$, $$b<0$$, то $$-a>0$$, $$-b>0$$ и $$-a<-b$$.

Пусть $$n=2k+1$$. Тогда

$$(-a)^{2k+1}<(-b)^{2k+1}$$
$$a^{2k+1}>b^{2k+1}$$
$$a^n>b^n.$$

2) Докажем, что $$a^n<b^n$$, если $$n$$ — чётное натуральное число.

Пусть $$n=2k$$. Тогда

$$(-a)^{2k}<(-b)^{2k}$$
$$a^{2k}<b^{2k}$$
$$a^n<b^n.$$

3) Докажем неравенство $$||a|-|b||\le |a+b|\le |a|+|b|$$ для любых чисел $$a$$ и $$b$$.

Из неравенства треугольника имеем:

$$|a+b|\le |a|+|b|.$$

Кроме того,

$$|a|=|(a+b)-b|\le |a+b|+|b|,$$
$$|a|-|b|\le |a+b|.$$

Аналогично

$$|b|=|(a+b)-a|\le |a+b|+|a|,$$
$$|b|-|a|\le |a+b|.$$

Значит,

$$||a|-|b||\le |a+b|.$$

Итак,

$$||a|-|b||\le |a+b|\le |a|+|b|.$$

Ответ

$$a^n>b^n \text{ при нечётном } n,\qquad a^n<b^n \text{ при чётном } n,$$
$$||a|-|b||\le |a+b|\le |a|+|b|.$$