Упр.168 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Пусть $$a<1$$ и $$a$$ — положительное число. Доказать, что:
   1) $$a^32) $$a^5
2. Доказать, что число $$|a-b|$$ равно расстоянию между точками $$a$$ и $$b$$ числовой оси.

Пусть $$0<a<1$$.

1) Докажем, что $$a^3<a$$.

$$a^3-a<0 \\ a(a^2-1)<0 \\ a(a-1)(a+1)<0$$

Так как $$a>0$$, $$a-1<0$$ и $$a+1>0$$, то произведение отрицательно. Значит, $$a^3<a$$.

2) Докажем, что $$a^5<a^2$$.

$$a^5-a^2<0 \\ a^2(a^3-1)<0 \\ a^2(a-1)(a^2+a+1)<0$$

Так как $$a^2>0$$, $$a-1<0$$, а $$a^2+a+1>0$$, то произведение отрицательно. Следовательно, $$a^5<a^2$$.

Теперь докажем, что число $$|a-b|$$ равно расстоянию между точками $$a$$ и $$b$$ на числовой оси.

Если $$b>a$$, то расстояние между точками равно $$b-a$$, а $$|a-b|=b-a$$.

Если $$b<a$$, то расстояние равно $$a-b$$, а $$|a-b|=a-b$$.

Если $$a=b$$, то расстояние равно $$0$$, и $$|a-b|=0$$.

Во всех случаях расстояние между точками $$a$$ и $$b$$ равно $$|a-b|$$.

Ответ

$$a^3<a,\quad a^5<a^2,\quad |a-b|$$ — расстояние между точками $$a$$ и $$b$$ на числовой оси.