Упр.167 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Доказать, что:
1) |a•b|=|a|•|b| при любых a и b;
2) |a^n |=|a|^n при любом a и любом натуральном n;
3) |a/b|=(|a\|)/(|b|) при любом a и любом b?0;
4) |a^n |=a^n при любом a,если n-четное натуральное число;
5) |a^n |=-a^n,если a?0 и n-нечетное натуральное число.

1) Пусть $$a>1$$. Тогда

$$ a^3-a>0 \\ a(a^2-1)>0 \\ a(a-1)(a+1)>0. $$

Так как $$a>1$$, то $$a>0$$, $$a-1>0$$ и $$a+1>0$$. Следовательно, $$a^3>a$$.

Аналогично:

$$ a^5-a^2>0 \\ a^2(a^3-1)>0 \\ a^2(a-1)(a^2+a+1)>0. $$

При $$a>1$$ имеем $$a^2>0$$, $$a-1>0$$ и $$a^2+a+1>0$$, значит, $$a^5>a^2$$.

2) Докажем свойства модуля.

$$ |a\cdot b|=|a|\cdot|b| $$
при любых $$a$$ и $$b$$, так как модуль произведения равен произведению модулей.

$$ |a^n|=|a|^n $$
при любом $$a$$ и любом натуральном $$n$$: при возведении в натуральную степень модуль каждого множителя перемножается $$n$$ раз.

$$ \left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|} $$
при любом $$a$$ и любом $$b\ne 0$$, поскольку модуль частного равен частному модулей.

Если $$n$$ — чётное натуральное число, то $$a^n\ge 0$$, поэтому

$$ |a^n|=a^n. $$

Если $$a\le 0$$ и $$n$$ — нечётное натуральное число, то $$a^n\le 0$$, значит

$$ |a^n|=-a^n. $$

Ответ

$$a^3>a,\quad a^5>a^2.$$

$$|ab|=|a||b|,\quad |a^n|=|a|^n,\quad \left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}\ (b\ne 0),\quad |a^n|=a^n\ \text{при чётном }n,\quad |a^n|=-a^n\ \text{при }a\le 0,\ \text{нечётном }n.$$