Упр.166 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Доказать, что:

1. если $$x+y>5$$ и $$x<2$$, то $$y>3$$;
2. если $$x-y<-3$$ и $$x>4$$, то $$y>7$$;
3. если $$a-3b<5$$ и $$a>-4$$, то $$b>-3$$;
4. если $$2a+3b>1$$ и $$a<2$$, то $$b>-1$$.

Выяснить, положительно или отрицательно число $$a$$, если:

1. $$a^3\lvert a\rvert<0$$;
2. $$a\lvert a\rvert^2>0$$;
3. $$\frac{a^3}{\lvert a\rvert}>0$$;
4. $$\frac{\lvert a\rvert}{a}<0$$.

1. Если $$x+y>5$$ и $$x<2$$, то

   $$x+y>5$$
   $$x<2$$

   Складываем неравенства:

   $$x+y+x<5+2$$

   $$2x+y<7$$

   Так как $$x<2$$, то $$x-2<0$$, значит

   $$x+y>5 \Rightarrow y>5-x>5-2=3.$$

   Следовательно, $$y>3$$.

2. Если $$x-y<-3$$ и $$x>4$$, то

   $$x-y<-3$$

   $$x>4$$

   Из $$x-y<-3$$ получаем

   $$-y<-3-x.$$

   Так как $$x>4$$, то $$-3-x<-7$$, значит

   $$-y<-7,$$

   откуда

   $$y>7.$$

3. Если $$a-3b<5$$ и $$a>-4$$, то

   $$a-3b<5$$

   $$a>-4$$

   Тогда

   $$a-3b<5$$
   $$-a<4$$

   Складываем:

   $$-3b<9,$$

   откуда

   $$b>-3.$$

4. Если $$2a+3b>1$$ и $$a<2$$, то

   $$2a+3b>1$$

   $$a<2$$, значит $$2a<4$$.

   Тогда

   $$2a+3b>1$$
   $$-2a>-4$$

   Складываем:

   $$3b>-3,$$

   откуда

   $$b>-1.$$

1. $$a^3|a|<0.$$

   Так как $$|a|>0$$ при $$a\neq 0$$, то знак произведения определяется знаком $$a^3$$. Значит,

   $$a^3<0 \Rightarrow a<0.$$

2. $$a|a|^2>0.$$

   Так как $$|a|^2>0$$ при $$a\neq 0$$, то

   $$a>0.$$

3. $$\dfrac{a^3}{|a|}>0.$$

   Так как $$|a|>0$$, знак дроби определяется знаком числителя:

   $$a^3>0 \Rightarrow a>0.$$

4. $$\dfrac{|a|}{a}<0.$$

   Так как $$|a|>0$$, дробь может быть отрицательной только при $$a<0$$.

Ответ

1) $$y>3$$; 2) $$y>7$$; 3) $$b>-3$$; 4) $$b>-1$$.

Во второй части: 1) $$a<0$$; 2) $$a>0$$; 3) $$a>0$$; 4) $$a<0$$.