Упр.165 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) a-|a|;
2) |-a|-a;
3) a^2 |a|;
4) (|a|)/a^3 .

Пусть прямоугольник имеет стороны $$a$$ и $$b$$, а точка лежит внутри него. Обозначим расстояния от этой точки до вершин прямоугольника через $$p_1, p_2, p_3, p_4$$.

По неравенству треугольника для каждой пары соседних вершин получаем:

$$ p_1+p_2>b,\quad p_1+p_3>a,\quad p_2+p_4>a,\quad p_3+p_4>b $$

Сложим эти неравенства:

$$ (p_1+p_2)+(p_1+p_3)+(p_2+p_4)+(p_3+p_4)>2a+2b $$

$$ 2(p_1+p_2+p_3+p_4)>2(a+b) $$

$$ p_1+p_2+p_3+p_4>a+b $$

Периметр прямоугольника равен $$P=2(a+b)$$, значит его полупериметр:

$$ \frac{P}{2}=a+b $$

Следовательно, сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри прямоугольника, до его вершин больше полупериметра прямоугольника.

Теперь пусть $$a<0$$. Тогда $$|a|=-a$$.

1) $$a-|a|=a-(-a)=2a$$ — отрицательное.

2) $$|-a|-a=|a|-a=(-a)-a=-2a$$ — положительное.

3) $$a^2|a|=a^2\cdot(-a)=-a^3$$. Так как $$a<0$$, то $$-a^3>0$$, значит выражение положительное.

4) $$\dfrac{|a|}{a^3}=\dfrac{-a}{a^3}=-\dfrac{1}{a^2}$$ — отрицательное.

Ответ

Сумма расстояний до вершин прямоугольника больше его полупериметра. При $$a<0$$: 1) отрицательное; 2) положительное; 3) положительное; 4) отрицательное.