Упр.165 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Доказать, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри прямоугольника, до его вершин больше полупериметра прямоугольника.
- Пусть $$a<0$$. Выяснить, положительно или отрицательно значение выражения:
1) $$a-|a|$$;
2) $$|-a|-a$$;
3) $$a^2|a|$$;
4) $$\frac{|a|}{a^3}$$.
Пусть прямоугольник имеет стороны $$a$$ и $$b$$, а точка лежит внутри него. Обозначим расстояния от этой точки до вершин прямоугольника через $$p_1, p_2, p_3, p_4$$.
По неравенству треугольника для каждой пары соседних вершин получаем:
$$p_1+p_2>b,\quad p_1+p_3>a,\quad p_2+p_4>a,\quad p_3+p_4>b$$
Сложим эти неравенства:
$$(p_1+p_2)+(p_1+p_3)+(p_2+p_4)+(p_3+p_4)>2a+2b$$
$$2(p_1+p_2+p_3+p_4)>2(a+b)$$
$$p_1+p_2+p_3+p_4>a+b$$
Периметр прямоугольника равен $$P=2(a+b)$$, значит его полупериметр:
$$\frac{P}{2}=a+b$$
Следовательно, сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри прямоугольника, до его вершин больше полупериметра прямоугольника.
Теперь пусть $$a<0$$. Тогда $$|a|=-a$$.
1) $$a-|a|=a-(-a)=2a$$ — отрицательное.
2) $$|-a|-a=|a|-a=(-a)-a=-2a$$ — положительное.
3) $$a^2|a|=a^2\cdot(-a)=-a^3$$. Так как $$a<0$$, то $$-a^3>0$$, значит выражение положительное.
4) $$\dfrac{|a|}{a^3}=\dfrac{-a}{a^3}=-\dfrac{1}{a^2}$$ — отрицательное.
Ответ
Сумма расстояний до вершин прямоугольника больше его полупериметра. При $$a<0$$: 1) отрицательное; 2) положительное; 3) положительное; 4) отрицательное.
