Упр.154 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
Задание учебника 2024 года. Верно ли, что:
- если $$a<b$$, то $$\frac{a}{b}<1$$;
- если $$\frac{a}{b}>1$$, то $$a>b$$;
- если $$\frac{a}{b}<1$$, то $$\frac{b}{a}>1$$;
- если $$a^2<1$$, то $$a<1$$;
- если $$a>b$$, то $$a^2>b^2$$;
- если $$a<b$$, то $$ab^2<b^3$$?
Задание учебника 2013 года. Изобразить на числовой оси множество решений неравенства:
- $$|x|<5$$;
- $$|x|?4$$;
- $$|x|?3$$;
- $$|x|>2$$.
1) Проверим утверждение $$a<b \Rightarrow \frac{a}{b}<1.$$
Имеем
$$\frac{a}{b}-1=\frac{a-b}{b}.$$
Так как $$a<b,$$ то $$a-b<0,$$ но знак дроби зависит от знака $$b.$$
Если $$b>0,$$ то утверждение верно. Если $$b<0,$$ то знак неравенства меняется, и утверждение неверно.
Ответ: нет, верно только при $$b>0.$$
2) Проверим утверждение $$\frac{a}{b}>1 \Rightarrow a>b.$$
Имеем
$$\frac{a}{b}-1=\frac{a-b}{b}.$$
Так как $$\frac{a}{b}>1,$$ то $$\frac{a-b}{b}>0.$$ Знак дроби зависит от знака $$b.$$
Если $$b>0,$$ то действительно $$a-b>0,$$ значит $$a>b.$$ Если $$b<0,$$ то утверждение неверно.
Ответ: нет, верно только при $$b>0.$$
3) Проверим утверждение $$\frac{a}{b}<1 \Rightarrow \frac{b}{a}>1.$$
Из $$\frac{a}{b}<1$$ получаем
$$\frac{a-b}{b}<0.$$
Тогда знак отношения $$\frac{b}{a}$$ зависит от знаков $$a$$ и $$b.$$ Утверждение верно только при $$ab>0.$$
Ответ: нет, верно только при $$ab>0.$$
4) Проверим утверждение $$a^2<1 \Rightarrow a<1.$$
Имеем
$$a^2-1<0,$$
$$\left(a-1\right)\left(a+1\right)<0.$$
Отсюда
$$-1<a<1.$$
Следовательно, действительно $$a<1.$$
Ответ: верно.
5) Проверим утверждение $$a>b \Rightarrow a^2>b^2.$$
Имеем
$$a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right).$$
Из $$a>b$$ следует только $$a-b>0,$$ но знак множителя $$a+b$$ неизвестен. Поэтому утверждение не всегда верно.
Ответ: неверно.
6) Проверим утверждение $$a<b \Rightarrow ab^2<b^3.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$ab^2-b^3<0,$$
$$b^2\left(a-b\right)<0.$$
Так как $$b^2\ge 0,$$ то при $$b\ne 0$$ знак выражения определяется знаком $$a-b.$$ Следовательно, при $$a<b$$ неравенство верно.
Ответ: верно.
Изобразим множества решений:
- $$|x|<5 \Rightarrow -5<x<5.$$
- $$|x|\le 4 \Rightarrow -4\le x\le 4.$$
- $$|x|\ge 3 \Rightarrow x\le -3 \text{ или } x\ge 3.$$
- $$|x|>2 \Rightarrow x<-2 \text{ или } x>2.$$
Ответ
1) нет, верно только при $$b>0$$; 2) нет, верно только при $$b>0$$; 3) нет, верно только при $$ab>0$$; 4) верно; 5) неверно; 6) верно.
Множества решений: $$-5<x<5$$; $$-4\le x\le 4$$; $$x\le -3$$ или $$x\ge 3$$; $$x<-2$$ или $$x>2$$.
