Упр.152 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) a+1/a<-2, если a<0 и a?-1;
2) a+b+b/a>2, если ab>0 и a?b;
3) 4y+1/y>4, если y>0 и y?1/2;
4) 9x+1/x<-6, если x<0 и x?-1/3. Решить уравнение:
1) |3x-5|=5;
2) |4x+3|=2;
3) |2/3 x+1/6|=1/3;
4) |3/4 x-1/2|=1/4.
Если $$a<0$$ и $$a\ne -1$$, то
$$a+\frac{1}{a}+2<0$$
$$\frac{a^2+2a+1}{a}<0$$
$$\frac{(a+1)^2}{a}<0.$$Так как $$\left(a+1\right)^2>0$$, а $$a<0$$, то дробь отрицательна. Следовательно,
$$a+\frac{1}{a}<-2.$$
Если $$ab>0$$ и $$a\ne b$$, то
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2>0$$
$$\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}>0$$
$$\frac{(a-b)^2}{ab}>0.$$Так как $$\left(a-b\right)^2>0$$, а $$ab>0$$, то дробь положительна. Следовательно,
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>2.$$
Если $$y>0$$ и $$y\ne \frac{1}{2}$$, то
$$4y+\frac{1}{y}-4>0$$
$$\frac{4y^2+1-4y}{y}>0$$
$$\frac{(1-2y)^2}{y}>0.$$Так как $$\left(1-2y\right)^2>0$$, а $$y>0$$, то дробь положительна. Следовательно,
$$4y+\frac{1}{y}>4.$$
Если $$x<0$$ и $$x\ne -\frac{1}{3}$$, то
$$9x+\frac{1}{x}+6<0$$
$$\frac{9x^2+6x+1}{x}<0$$
$$\frac{(3x+1)^2}{x}<0.$$Так как $$\left(3x+1\right)^2>0$$, а $$x<0$$, то дробь отрицательна. Следовательно,
$$9x+\frac{1}{x}<-6.$$
Решим уравнения.
$$|3x-5|=5$$
$$3x-5=5 \quad \text{или} \quad 3x-5=-5$$
$$3x=10 \quad \text{или} \quad 3x=0$$
$$x=\frac{10}{3} \quad \text{или} \quad x=0.$$$$|4x+3|=2$$
$$4x+3=2 \quad \text{или} \quad 4x+3=-2$$
$$4x=-1 \quad \text{или} \quad 4x=-5$$
$$x=-\frac{1}{4} \quad \text{или} \quad x=-\frac{5}{4}.$$$$\left|\frac{2}{3}x+\frac{1}{6}\right|=\frac{1}{3}$$
$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{6}=\frac{1}{3} \quad \text{или} \quad \frac{2}{3}x+\frac{1}{6}=-\frac{1}{3}$$
$$4x+1=2 \quad \text{или} \quad 4x+1=-2$$
$$4x=1 \quad \text{или} \quad 4x=-3$$
$$x=\frac{1}{4} \quad \text{или} \quad x=-\frac{3}{4}.$$$$\left|\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{4}$$
$$\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}=\frac{1}{4} \quad \text{или} \quad \frac{3}{4}x-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$$
$$3x-2=1 \quad \text{или} \quad 3x-2=-1$$
$$3x=3 \quad \text{или} \quad 3x=1$$
$$x=1 \quad \text{или} \quad x=\frac{1}{3}.$$
Ответ
1) $$a+\frac{1}{a}<-2$$; 2) $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>2$$; 3) $$4y+\frac{1}{y}>4$$; 4) $$9x+\frac{1}{x}<-6$$.
Уравнения: 1) $$x=0,\ \frac{10}{3}$$; 2) $$x=-\frac{5}{4},\ -\frac{1}{4}$$; 3) $$x=-\frac{3}{4},\ \frac{1}{4}$$; 4) $$x=\frac{1}{3},\ 1$$.
