Упр.147 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) a^2 < a; 2) a^3 < a^2. В раствор объемом 8 л, содержащий 60 % кислоты, начали вливать раствор, содержащий 20 % кислоты. Сколько можно влить второго раствора в первый, чтобы смесь содержала кислоты не больше 40 %, но не меньше 30 %?

Подробный ответ

Пусть $$a$$ — положительное число и $$a<1$$.

1) Докажем, что $$a^2<a$$.

$$ a^2-a<0 \\ a(a-1)<0 $$

Так как $$a>0$$, а $$a-1<0$$, то произведение $$a(a-1)$$ отрицательно. Значит, $$a^2<a$$.

2) Докажем, что $$a^3<a^2$$.

$$ a^3-a^2<0 \\ a^2(a-1)<0 $$

Так как $$a>0$$, то $$a^2>0$$, а $$a-1<0$$. Следовательно, $$a^2(a-1)<0$$, значит, $$a^3<a^2$$.

3) Пусть в первый раствор добавили $$x$$ л второго раствора. Тогда количество кислоты в смеси равно $$4{,}8+0{,}2x$$ л, а общий объём смеси — $$8+x$$ л.

По условию доля кислоты должна быть не меньше $$30\%$$ и не больше $$40\%$$:

$$ 0{,}3(8+x)\le 4{,}8+0{,}2x \le 0{,}4(8+x) $$

Решим двойное неравенство:

$$ 4{,}8+0{,}2x \ge 2{,}4+0{,}3x \\ 2{,}4 \ge 0{,}1x \\ x \le 24 $$

$$ 4{,}8+0{,}2x \le 3{,}2+0{,}4x \\ 1{,}6 \le 0{,}2x \\ x \ge 8 $$

Итак, $$8\le x\le 24$$.