Упр.147 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Пусть $$a$$ — положительное число и $$a<1$$. Доказать, что: 1) $$a^2
- В раствор объемом 8 л, содержащий 60 % кислоты, начали вливать раствор, содержащий 20 % кислоты. Сколько можно влить второго раствора в первый, чтобы смесь содержала кислоты не больше 40 %, но не меньше 30 %?
Пусть $$a$$ — положительное число и $$a<1$$.
1) Докажем, что $$a^2<a$$.
$$a^2-a<0 \\ a(a-1)<0$$
Так как $$a>0$$, а $$a-1<0$$, то произведение $$a(a-1)$$ отрицательно. Значит, $$a^2<a$$.
2) Докажем, что $$a^3<a^2$$.
$$a^3-a^2<0 \\ a^2(a-1)<0$$
Так как $$a>0$$, то $$a^2>0$$, а $$a-1<0$$. Следовательно, $$a^2(a-1)<0$$, значит, $$a^3<a^2$$.
3) Пусть в первый раствор добавили $$x$$ л второго раствора. Тогда количество кислоты в смеси равно $$4{,}8+0{,}2x$$ л, а общий объём смеси — $$8+x$$ л.
По условию доля кислоты должна быть не меньше $$30\%$$ и не больше $$40\%$$:
$$0{,}3(8+x)\le 4{,}8+0{,}2x \le 0{,}4(8+x)$$
Решим двойное неравенство:
$$4{,}8+0{,}2x \ge 2{,}4+0{,}3x \\ 2{,}4 \ge 0{,}1x \\ x \le 24$$
$$4{,}8+0{,}2x \le 3{,}2+0{,}4x \\ 1{,}6 \le 0{,}2x \\ x \ge 8$$
Итак, $$8\le x\le 24$$.
Ответ
$$a^2<a,\quad a^3<a^2;\quad 8\le x\le 24$$ л.
