Упр.133 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Доказать, что если $$a>-1$$ и $$a\ne1$$, то $$a^3+1>a^2+a$$.
2. Решить систему неравенств:
   1) $$\begin{cases}3x-18>0\\4x>12\end{cases}$$
   2) $$\begin{cases}7x-14\ ?\ 0\\2x\ ?\ 8\end{cases}$$
   3) $$\begin{cases}2x+5>0\\3x+6\ ?\ 0\end{cases}$$
   4) $$\begin{cases}2x+7\ ?\ 0\\5x+15>0\end{cases}$$

1) Докажем неравенство:

$$a^3+1-a^2-a=a^3-a^2-a+1=a^2(a-1)-(a-1)=(a-1)(a^2-1)=(a-1)^2(a+1).$$

Так как $$a>-1$$, то $$a+1>0$$. Кроме того, при $$a\ne 1$$ имеем $$\left(a-1\right)^2>0$$, значит

$$\left(a-1\right)^2(a+1)>0,$$

следовательно,

$$a^3+1>a^2+a.$$

2) Решим системы неравенств.

1. $$\begin{cases} 3x-18>0,\\ 4x>12 \end{cases}$$

   $$3x>18 \Rightarrow x>6,\qquad 4x>12 \Rightarrow x>3.$$

   Пересечение решений:

   $$x>6.$$

2. $$\begin{cases} 7x-14\ge 0,\\ 2x\ge 8 \end{cases}$$

   $$7x\ge 14 \Rightarrow x\ge 2,\qquad 2x\ge 8 \Rightarrow x\ge 4.$$

   Пересечение решений:

   $$x\ge 4.$$

3. $$\begin{cases} 2x+5>0,\\ 3x+6\ge 0 \end{cases}$$

   $$2x>-5 \Rightarrow x>-2{,}5,\qquad 3x\ge -6 \Rightarrow x\ge -2.$$

   Пересечение решений:

   $$x\ge -2.$$

4. $$\begin{cases} 2x+7\ge 0,\\ 5x+15>0 \end{cases}$$

   $$2x\ge -7 \Rightarrow x\ge -3{,}5,\qquad 5x>-15 \Rightarrow x>-3.$$

   Пересечение решений:

   $$x>-3.$$

Ответ

1) $$a^3+1>a^2+a.$$
2) $$x>6; \quad x\ge 4; \quad x\ge -2; \quad x>-3.$$