Упр.133 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) {(3x-18>0
4x>12)+
2) {(7x-14?0
2x?8)+
3) {(2x+5>0
3x+6?0)+
4) {(2x+7?0
5x+15>0)+

1) Докажем неравенство:

$$a^3+1-a^2-a=a^3-a^2-a+1=a^2(a-1)-(a-1)=(a-1)(a^2-1)=(a-1)^2(a+1).$$

Так как $$a>-1$$, то $$a+1>0$$. Кроме того, при $$a\ne 1$$ имеем $$\left(a-1\right)^2>0$$, значит

$$\left(a-1\right)^2(a+1)>0,$$

следовательно,

$$a^3+1>a^2+a.$$

2) Решим системы неравенств.

1. $$ \begin{cases} 3x-18>0,\\ 4x>12 \end{cases} $$

   $$ 3x>18 \Rightarrow x>6,\qquad 4x>12 \Rightarrow x>3. $$

   Пересечение решений:

   $$x>6.$$

2. $$ \begin{cases} 7x-14\ge 0,\\ 2x\ge 8 \end{cases} $$

   $$ 7x\ge 14 \Rightarrow x\ge 2,\qquad 2x\ge 8 \Rightarrow x\ge 4. $$

   Пересечение решений:

   $$x\ge 4.$$

3. $$ \begin{cases} 2x+5>0,\\ 3x+6\ge 0 \end{cases} $$

   $$ 2x>-5 \Rightarrow x>-2{,}5,\qquad 3x\ge -6 \Rightarrow x\ge -2. $$

   Пересечение решений:

   $$x\ge -2.$$

4. $$ \begin{cases} 2x+7\ge 0,\\ 5x+15>0 \end{cases} $$

   $$ 2x\ge -7 \Rightarrow x\ge -3{,}5,\qquad 5x>-15 \Rightarrow x>-3. $$

   Пересечение решений:

   $$x>-3.$$

Ответ

1) $$a^3+1>a^2+a.$$
2) $$x>6; \quad x\ge 4; \quad x\ge -2; \quad x>-3.$$