Упр.132 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) {(x?-2
x?-7,5)+
2) {(x<1,5 x?-1,5)+ 3) {(x?0,8 x<2,2)+ 4) {(x?7,5 x?-0,5)+

Докажем неравенство:

$$a^4+b^4>a^3b+ab^3.$$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$ a^4+b^4-a^3b-ab^3 = a^3(a-b)-b^3(a-b) = (a-b)(a^3-b^3) $$

Разложим разность кубов:

$$ (a-b)(a^3-b^3)=(a-b)(a-b)(a^2+ab+b^2) $$

Получаем:

$$ a^4+b^4-a^3b-ab^3=(a-b)^2(a^2+ab+b^2) $$

Так как $$a>0$$, $$b>0$$ и $$a\ne b$$, то $$a^2+ab+b^2>0$$, а также $$ (a-b)^2>0$$. Значит,

$$ (a-b)^2(a^2+ab+b^2)>0, $$

следовательно,

$$a^4+b^4>a^3b+ab^3.$$

Теперь запишем решения систем неравенств в виде двойного неравенства.

1. $$ \begin{cases} x\le -2,\\ x\ge -7{,}5 \end{cases} $$

   $$-7{,}5\le x\le -2.$$

2. $$ \begin{cases} x<1{,}5,\\ x\ge -1{,}5 \end{cases} $$

   $$-1{,}5\le x<1{,}5.$$

3. $$ \begin{cases} x\ge 0{,}8,\\ x<2{,}2 \end{cases} $$

   $$0{,}8\le x<2{,}2.$$

4. $$ \begin{cases} x\le 7{,}5,\\ x>-0{,}5 \end{cases} $$

   $$-0{,}5<x\le 7{,}5.$$

Ответ

$$a^4+b^4-a^3b-ab^3=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)>0.$$

1) $$-7{,}5\le x\le -2$$; 2) $$-1{,}5\le x<1{,}5$$; 3) $$0{,}8\le x<2{,}2$$; 4) $$-0{,}5<x\le 7{,}5$$.