Упр.132 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Доказать, что если $$a>0$$, $$b>0$$ и $$a?b$$, то выполняется неравенство $$a^4+b^4>a^3b+ab^3$$.
- Записать множество решений системы неравенств двойным неравенством и изобразить его на числовой оси:
1) $$\left\{\begin{array}{l}x?-2\\x?-7{,}5\end{array}\right.$$
2) $$\left\{\begin{array}{l}x<1{,}5\\x?-1{,}5\end{array}\right.$$
3) $$\left\{\begin{array}{l}x?0{,}8\\x<2{,}2\end{array}\right.$$
4) $$\left\{\begin{array}{l}x?7{,}5\\x?-0{,}5\end{array}\right.$$
Докажем неравенство:
$$a^4+b^4>a^3b+ab^3.$$
Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:
$$a^4+b^4-a^3b-ab^3 = a^3(a-b)-b^3(a-b) = (a-b)(a^3-b^3)$$
Разложим разность кубов:
$$(a-b)(a^3-b^3)=(a-b)(a-b)(a^2+ab+b^2)$$
Получаем:
$$a^4+b^4-a^3b-ab^3=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)$$
Так как $$a>0$$, $$b>0$$ и $$a\ne b$$, то $$a^2+ab+b^2>0$$, а также $$(a-b)^2>0$$. Значит,
$$(a-b)^2(a^2+ab+b^2)>0,$$
следовательно,
$$a^4+b^4>a^3b+ab^3.$$
Теперь запишем решения систем неравенств в виде двойного неравенства.
$$\begin{cases} x\le -2,\\ x\ge -7{,}5 \end{cases}$$
$$-7{,}5\le x\le -2.$$
$$\begin{cases} x<1{,}5,\\ x\ge -1{,}5 \end{cases}$$
$$-1{,}5\le x<1{,}5.$$
$$\begin{cases} x\ge 0{,}8,\\ x<2{,}2 \end{cases}$$
$$0{,}8\le x<2{,}2.$$
$$\begin{cases} x\le 7{,}5,\\ x>-0{,}5 \end{cases}$$
$$-0{,}5<x\le 7{,}5.$$
Ответ
$$a^4+b^4-a^3b-ab^3=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)>0.$$
1) $$-7{,}5\le x\le -2$$; 2) $$-1{,}5\le x<1{,}5$$; 3) $$0{,}8\le x<2{,}2$$; 4) $$-0{,}5<x\le 7{,}5$$.
