Упр.131 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Доказать, что если $$a$$, $$b$$, $$c$$ — положительные числа и $$a>b$$, то:
1) $$\frac{a+c}{b+c}<\frac{a}{b}$$;
2) $$\frac{b+c}{a+c}>\frac{b}{a}$$. - Записать множество решений системы неравенств двойным неравенством и изобразить его на числовой оси:
1) $$\left\{\begin{array}{l}x>2\\x<5\end{array}\right.$$
2) $$\left\{\begin{array}{l}x>3\\x<6\end{array}\right.$$
3) $$\left\{\begin{array}{l}x<0\\x?-2\end{array}\right.$$
4) $$\left\{\begin{array}{l}x?0\\x<\frac{1}{2}\end{array}\right.$$
1) Так как $$a>b>0$$ и $$c>0$$, то
$$\frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b} =\frac{b(a+c)-a(b+c)}{b(b+c)} =\frac{ab+bc-ab-ac}{b(b+c)} =\frac{c(b-a)}{b(b+c)}.$$
Здесь $$c>0$$, $$b-a<0$$, $$b(b+c)>0$$, значит
$$\frac{c(b-a)}{b(b+c)}<0.$$
Следовательно,
$$\frac{a+c}{b+c}<\frac{a}{b}.$$
2) Аналогично,
$$\frac{b+c}{a+c}-\frac{b}{a} =\frac{a(b+c)-b(a+c)}{a(a+c)} =\frac{ab+ac-ab-bc}{a(a+c)} =\frac{c(a-b)}{a(a+c)}.$$
Так как $$c>0$$, $$a-b>0$$, $$a(a+c)>0$$, то
$$\frac{c(a-b)}{a(a+c)}>0.$$
Следовательно,
$$\frac{b+c}{a+c}>\frac{b}{a}.$$
3) Запишем решения систем неравенств в виде двойных неравенств:
$$\begin{cases} x>2,\\ x<5 \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad 2<x<5.$$
$$\begin{cases} x>3,\\ x<6 \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad 3<x<6.$$
$$\begin{cases} x<0,\\ x\ge -2 \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad -2\le x<0.$$
$$\begin{cases} x\ge 0,\\ x<\frac12 \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad 0\le x<\frac12.$$
Ответ
1) $$\frac{a+c}{b+c}<\frac{a}{b}$$; 2) $$\frac{b+c}{a+c}>\frac{b}{a}$$; 3) $$2<x<5$$; 4) $$3<x<6$$; 5) $$-2\le x<0$$; 6) $$0\le x<\frac12$$.
