Упр.131 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) (a+c)/(b+c) < a/b;
2) (b+c)/(a+c)>b/a.
Записать множество решений системы неравенств двойным неравенством и изобразить его на числовой оси:
1) {(x>2
x<5)+
2) {(x>3
x<6)+
3) {(x<0
x?-2)+
4) {(x?0
x<1/2)+
1) Так как $$a>b>0$$ и $$c>0$$, то
$$ \frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b} =\frac{b(a+c)-a(b+c)}{b(b+c)} =\frac{ab+bc-ab-ac}{b(b+c)} =\frac{c(b-a)}{b(b+c)}. $$
Здесь $$c>0$$, $$b-a<0$$, $$b(b+c)>0$$, значит
$$ \frac{c(b-a)}{b(b+c)}<0. $$
Следовательно,
$$ \frac{a+c}{b+c}<\frac{a}{b}. $$
2) Аналогично,
$$ \frac{b+c}{a+c}-\frac{b}{a} =\frac{a(b+c)-b(a+c)}{a(a+c)} =\frac{ab+ac-ab-bc}{a(a+c)} =\frac{c(a-b)}{a(a+c)}. $$
Так как $$c>0$$, $$a-b>0$$, $$a(a+c)>0$$, то
$$ \frac{c(a-b)}{a(a+c)}>0. $$
Следовательно,
$$ \frac{b+c}{a+c}>\frac{b}{a}. $$
3) Запишем решения систем неравенств в виде двойных неравенств:
$$ \begin{cases} x>2,\\ x<5 \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad 2<x<5. $$
$$ \begin{cases} x>3,\\ x<6 \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad 3<x<6. $$
$$ \begin{cases} x<0,\\ x\ge -2 \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad -2\le x<0. $$
$$ \begin{cases} x\ge 0,\\ x<\frac12 \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad 0\le x<\frac12. $$
Ответ
1) $$\frac{a+c}{b+c}<\frac{a}{b}$$; 2) $$\frac{b+c}{a+c}>\frac{b}{a}$$; 3) $$2<x<5$$; 4) $$3<x<6$$; 5) $$-2\le x<0$$; 6) $$0\le x<\frac12$$.
