Упр.128 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) a^3<(a+1)(a^2-a+1);
2) (a+7)(a+1)<(a+2)(a+6);
3) 1+(3a+1)^2>(1+2a)(1+4a);
4) (3a-2)(a+2)<(1+2a)^2.
Решить неравенство:
1) (x-3)(2x-3)+6x^2?2(2x-3)^2;
2) (5-6x)(1+3x)+(1+3x)^2?(1+3x)(1-3x);
3) (2x+1)(4x^2-2x+1)-8x^3?-2(x+3);
4) (x-2)(x^2+2x+4)?x(x^2+2)+1.
$$a^3<(a+1)(a^2-a+1)$$
Раскроем скобки в правой части:
$$ (a+1)(a^2-a+1)=a^3+1 $$
Тогда
$$a^3-(a^3+1)=-1<0.$$
Неравенство верно при любых значениях $$a$$.
$$ (a+7)(a+1)<(a+2)(a+6) $$
Перенесём всё в левую часть:
$$ (a+7)(a+1)-(a+2)(a+6)= a^2+8a+7-(a^2+8a+12)=-5<0. $$
Неравенство верно при любых значениях $$a$$.
$$1+(3a+1)^2>(1+2a)(1+4a)$$
Перенесём всё в левую часть:
$$ 1+(3a+1)^2-(1+2a)(1+4a)= 1+(9a^2+6a+1)-(1+6a+8a^2)=a^2+1>0. $$
Неравенство верно при любых значениях $$a$$.
$$ (3a-2)(a+2)<(1+2a)^2 $$
Перенесём всё в левую часть:
$$ (3a-2)(a+2)-(1+2a)^2= (3a^2+4a-4)-(4a^2+4a+1)=-a^2-5<0. $$
Неравенство верно при любых значениях $$a$$.
Ответ
- верно при любых $$a$$;
- верно при любых $$a$$;
- верно при любых $$a$$;
- верно при любых $$a$$.
Ход решения
$$ (x-3)(2x-3)+6x^2\le 2(2x-3)^2 $$
Раскроем скобки:
$$ 2x^2-9x+9+6x^2\le 2(4x^2-12x+9) $$
$$ 8x^2-9x+9\le 8x^2-24x+18 $$
$$ 15x\le 9 $$
$$ x\le \frac{9}{15}=\frac35. $$
$$ (5-6x)(1+3x)+(1+3x)^2\le (1+3x)(1-3x) $$
Вынесем общий множитель в левой части:
$$ (1+3x)\bigl((5-6x)+(1+3x)\bigr)\le (1+3x)(1-3x) $$
$$ (1+3x)(6-3x)\le (1+3x)(1-3x) $$
Перенесём всё в одну сторону:
$$ (1+3x)\bigl((6-3x)-(1-3x)\bigr)\le 0 $$
$$ 5(1+3x)\le 0 $$
$$ x\le -\frac13. $$
$$ (2x+1)(4x^2-2x+1)-8x^3\ge -2(x+3) $$
Используем формулу суммы кубов:
$$ (2x+1)(4x^2-2x+1)=8x^3+1 $$
Тогда
$$ 8x^3+1-8x^3\ge -2x-6 $$
$$ 1\ge -2x-6 $$
$$ -2x\le 7 $$
$$ x\ge -\frac72. $$
$$ (x-2)(x^2+2x+4)\le x(x^2+2)+1 $$
Используем формулу разности кубов:
$$ (x-2)(x^2+2x+4)=x^3-8 $$
Тогда
$$ x^3-8\le x^3+2x+1 $$
$$ -8\le 2x+1 $$
$$ 2x\ge -9 $$
$$ x\ge -\frac92. $$
Ответ
- $$x\le \frac35$$;
- $$x\le -\frac13$$;
- $$x\ge -\frac72$$;
- $$x\ge -\frac92$$.
