Упр.128 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Доказать, что при любых значениях $$a$$ верно неравенство:
   1) $$a^3 < (a+1)(a^2-a+1);$$
   2) $$(a+7)(a+1) < (a+2)(a+6);$$
   3) $$1+(3a+1)^2 > (1+2a)(1+4a);$$
   4) $$(3a-2)(a+2) < (1+2a)^2.$$
2. Решить неравенство:
   1) $$(x-3)(2x-3)+6x^2 ? 2(2x-3)^2;$$
   2) $$(5-6x)(1+3x)+(1+3x)^2 ? (1+3x)(1-3x);$$
   3) $$(2x+1)(4x^2-2x+1)-8x^3 ? -2(x+3);$$
   4) $$(x-2)(x^2+2x+4) ? x(x^2+2)+1.$$

1. $$a^3<(a+1)(a^2-a+1)$$

   Раскроем скобки в правой части:

   $$(a+1)(a^2-a+1)=a^3+1$$

   Тогда

   $$a^3-(a^3+1)=-1<0.$$

   Неравенство верно при любых значениях $$a$$.

2. $$(a+7)(a+1)<(a+2)(a+6)$$

   Перенесём всё в левую часть:

   $$(a+7)(a+1)-(a+2)(a+6)= a^2+8a+7-(a^2+8a+12)=-5<0.$$

   Неравенство верно при любых значениях $$a$$.

3. $$1+(3a+1)^2>(1+2a)(1+4a)$$

   Перенесём всё в левую часть:

   $$1+(3a+1)^2-(1+2a)(1+4a)= 1+(9a^2+6a+1)-(1+6a+8a^2)=a^2+1>0.$$

   Неравенство верно при любых значениях $$a$$.

4. $$(3a-2)(a+2)<(1+2a)^2$$

   Перенесём всё в левую часть:

   $$(3a-2)(a+2)-(1+2a)^2= (3a^2+4a-4)-(4a^2+4a+1)=-a^2-5<0.$$

   Неравенство верно при любых значениях $$a$$.

Ответ

1. верно при любых $$a$$;
2. верно при любых $$a$$;
3. верно при любых $$a$$;
4. верно при любых $$a$$.

1. $$(x-3)(2x-3)+6x^2\le 2(2x-3)^2$$

   Раскроем скобки:

   $$2x^2-9x+9+6x^2\le 2(4x^2-12x+9)$$

   $$8x^2-9x+9\le 8x^2-24x+18$$

   $$15x\le 9$$

   $$x\le \frac{9}{15}=\frac35.$$

2. $$(5-6x)(1+3x)+(1+3x)^2\le (1+3x)(1-3x)$$

   Вынесем общий множитель в левой части:

   $$(1+3x)\bigl((5-6x)+(1+3x)\bigr)\le (1+3x)(1-3x)$$

   $$(1+3x)(6-3x)\le (1+3x)(1-3x)$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$(1+3x)\bigl((6-3x)-(1-3x)\bigr)\le 0$$

   $$5(1+3x)\le 0$$

   $$x\le -\frac13.$$

3. $$(2x+1)(4x^2-2x+1)-8x^3\ge -2(x+3)$$

   Используем формулу суммы кубов:

   $$(2x+1)(4x^2-2x+1)=8x^3+1$$

   Тогда

   $$8x^3+1-8x^3\ge -2x-6$$

   $$1\ge -2x-6$$

   $$-2x\le 7$$

   $$x\ge -\frac72.$$

4. $$(x-2)(x^2+2x+4)\le x(x^2+2)+1$$

   Используем формулу разности кубов:

   $$(x-2)(x^2+2x+4)=x^3-8$$

   Тогда

   $$x^3-8\le x^3+2x+1$$

   $$-8\le 2x+1$$

   $$2x\ge -9$$

   $$x\ge -\frac92.$$

Ответ

1. $$x\le \frac35$$;
2. $$x\le -\frac13$$;
3. $$x\ge -\frac72$$;
4. $$x\ge -\frac92$$.