Упр.126 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Доказать, что при любых значениях $$a$$ верно неравенство:
   1) $$a^2>(a+1)(a-1)$$;
   2) $$(a+2)(a+4)>(a+1)(a+5)$$.
2. На одной координатной плоскости построить графики функций $$y=-2x-2$$ и $$y=2-\frac{x}{2}$$. Отметить на оси абсцисс множество значений $$x$$, при которых значения обеих функций:
   1) положительны;
   2) отрицательны.

1) Проверим неравенство:

$$a^2>(a+1)(a-1).$$

Раскроем скобки:

$$(a+1)(a-1)=a^2-1.$$

Тогда

$$a^2-(a^2-1)=1>0.$$

Значит, неравенство верно при любых значениях $$a$$.

2) Проверим неравенство:

$$(a+2)(a+4)>(a+1)(a+5).$$

Раскроем скобки:

$$(a+2)(a+4)=a^2+6a+8,$$

$$(a+1)(a+5)=a^2+6a+5.$$

Тогда

$$(a+2)(a+4)-(a+1)(a+5)=3>0.$$

Следовательно, неравенство верно при любых значениях $$a$$.

Построим графики функций $$y=-2x-2$$ и $$y=2-\frac{x}{2}$$.

Найдём, при каких значениях $$x$$ обе функции положительны:

$$-2x-2>0 \Rightarrow x<-1,$$

$$2-\frac{x}{2}>0 \Rightarrow x<4.$$

Обе функции положительны при

$$x<-1.$$

Найдём, при каких значениях $$x$$ обе функции отрицательны:

$$-2x-2<0 \Rightarrow x>-1,$$

$$2-\frac{x}{2}<0 \Rightarrow x>4.$$

Обе функции отрицательны при

$$x>4.$$

Ответ

1) Верно при любых $$a$$; 2) верно при любых $$a$$; обе функции положительны при $$x<-1$$, отрицательны при $$x>4$$.