Упр.123 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Доказать, что:

1) $$\frac{a-1}{a+1}:\frac{1}{a^2+2a+1}+1>0$$, если $$a>0$$;
2) $$\frac{3a^2+4a+1}{(a+1)^2}-\frac{a-1}{a+1}>0$$, если $$a\ne-1$$.

Записать в виде двойного неравенства, а также с помощью обозначений числового промежутка множества чисел $$x$$, изображённое на рисунке 15.

1) Преобразуем выражение:

$$\frac{a-1}{a+1}:\frac{1}{a^2+2a+1}+1 = \frac{a-1}{a+1}\cdot \frac{a^2+2a+1}{1}+1$$

Так как $$a^2+2a+1=(a+1)^2$$, получаем

$$\frac{a-1}{a+1}\cdot (a+1)^2+1=(a-1)(a+1)+1=a^2-1+1=a^2.$$

При $$a>0$$ имеем $$a^2>0$$, значит, неравенство верно.

2) Упростим левую часть:

$$\frac{3a^2+4a+1}{(a+1)^2}-\frac{a-1}{a+1} = \frac{3a^2+4a+1-(a-1)(a+1)}{(a+1)^2}.$$

Так как $$(a-1)(a+1)=a^2-1$$, то

$$\frac{3a^2+4a+1-a^2+1}{(a+1)^2} = \frac{2a^2+4a+2}{(a+1)^2} = \frac{2(a^2+2a+1)}{(a+1)^2} = \frac{2(a+1)^2}{(a+1)^2} =2.$$

Следовательно, выражение равно $$2>0$$ при $$a\ne -1$$.

3) По рисунку 15 записываем множества чисел в виде двойного неравенства и промежутка:

1. $$-1\le x\le 5,$$
   $$x\in[-1;5].$$
2. $$-1<x<2,$$
   $$x\in(-1;2).$$
3. $$-4\le x<-1,$$
   $$x\in[-4;-1).$$
4. $$-4<x\le 0,$$
   $$x\in(-4;0].$$

Ответ

1) $$\frac{a-1}{a+1}:\frac{1}{a^2+2a+1}+1=a^2>0$$ при $$a>0$$;
2) $$\frac{3a^2+4a+1}{(a+1)^2}-\frac{a-1}{a+1}=2>0$$ при $$a\ne -1$$;
3) $$[-1;5],\ (-1;2),\ [-4;-1),\ (-4;0].$$