Упр.121 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
Доказать, что:
1) $$\frac{1}{a+2}-\frac{1}{a+3}>0$$, если $$a>0$$;
2) $$\frac{1}{a-2}-\frac{1}{a-1}>0$$, если $$a<0$$;
3) $$\frac{2}{3a+2}-\frac{1}{a+1}<0$$, если $$a>0$$;
4) $$\frac{1}{1-a}-\frac{3}{3-2a}<0$$, если $$a<0$$.
Множество чисел $$x$$, удовлетворяющих данному двойному неравенству, записать с помощью обозначений числового промежутка и изобразить его на числовой оси:
1) $$1\leq x\leq 5$$;
2) $$-1\leq x\leq 3$$;
3) $$-1
4) $$1
5) $$-3\leq x<1$$;
6) $$-4
$$\frac{1}{a+2}-\frac{1}{a+3}=\frac{a+3-(a+2)}{(a+2)(a+3)}=\frac{1}{(a+2)(a+3)}.$$
При $$a>0$$ числа $$a+2$$ и $$a+3$$ положительны, значит
$$\frac{1}{(a+2)(a+3)}>0.$$$$\frac{1}{a-2}-\frac{1}{a-1}=\frac{a-1-(a-2)}{(a-2)(a-1)}=\frac{1}{(a-2)(a-1)}.$$
При $$a<0$$ числа $$a-2$$ и $$a-1$$ отрицательны, поэтому их произведение положительно:
$$\frac{1}{(a-2)(a-1)}>0.$$$$\frac{2}{3a+2}-\frac{1}{a+1}=\frac{2(a+1)-(3a+2)}{(3a+2)(a+1)}=\frac{2a+2-3a-2}{(3a+2)(a+1)}=\frac{-a}{(3a+2)(a+1)}.$$
При $$a>0$$ имеем $$3a+2>0$$ и $$a+1>0$$, значит знаменатель положителен, а числитель $$-a<0$$. Следовательно,
$$\frac{-a}{(3a+2)(a+1)}<0.$$$$\frac{1}{1-a}-\frac{3}{3-2a}=\frac{3-2a-3(1-a)}{(1-a)(3-2a)}=\frac{3-2a-3+3a}{(1-a)(3-2a)}=\frac{a}{(1-a)(3-2a)}.$$
При $$a<0$$ числа $$1-a>0$$ и $$3-2a>0$$, а числитель $$a<0$$. Значит,
$$\frac{a}{(1-a)(3-2a)}<0.$$
Множества чисел, удовлетворяющих двойным неравенствам:
- $$1\le x\le 5 \Rightarrow [1;5]$$
- $$-1\le x\le 3 \Rightarrow [-1;3]$$
- $$-1<x<4 \Rightarrow (-1;4)$$
- $$1<x<2 \Rightarrow (1;2)$$
- $$-3\le x<1 \Rightarrow [-3;1)$$
- $$-4<x\le -2 \Rightarrow (-4;-2]$$
Ответ
1) $$\frac{1}{a+2}-\frac{1}{a+3}>0$$ при $$a>0$$;
2) $$\frac{1}{a-2}-\frac{1}{a-1}>0$$ при $$a<0$$;
3) $$\frac{2}{3a+2}-\frac{1}{a+1}<0$$ при $$a>0$$;
4) $$\frac{1}{1-a}-\frac{3}{3-2a}<0$$ при $$a<0$$.
1) $$[1;5]$$; 2) $$[-1;3]$$; 3) $$(-1;4)$$; 4) $$(1;2)$$; 5) $$[-3;1)$$; 6) $$(-4;-2]$$.
