Упр.120 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) x/(x-5)-(x-2)/(x-6)=0;
2) (x+1)/(x-2)+(1-x)/(x+3)=0;
3) 1/(x-1)-2/(x^2-1)=0;
4) 1/(x-3)-1/(x-2)(x-3) =0.
Найти все целые числа, являющиеся решениями системы неравенств:
1) {(x>2
x<7)+ 2) {(x?3 x>-1)+
3) {(x?2,7
x?0)+
4) {(x?-5,1
x<5,1)+

Подробный ответ

$$\frac{x}{x-5}-\frac{x-2}{x-6}=0$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{x(x-6)-(x-2)(x-5)}{(x-5)(x-6)}=0$$
$$x^2-6x-(x^2-7x+10)=0$$
$$x-10=0$$
$$x=10$$
ОДЗ: $$x\ne 5,\; x\ne 6$$. Значение $$x=10$$ подходит.
$$\frac{x+1}{x-2}+\frac{1-x}{x+3}=0$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(x+1)(x+3)+(1-x)(x-2)}{(x-2)(x+3)}=0$$
$$x^2+4x+3+x-2-x^2+3x-2=0$$
$$8x-1=0$$
$$x=\frac{1}{8}$$
ОДЗ: $$x\ne 2,\; x\ne -3$$. Значение $$x=\frac{1}{8}$$ подходит.
$$\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^2-1}=0$$
Так как $$x^2-1=(x-1)(x+1)$$, получаем:
$$\frac{x+1-2}{x^2-1}=0$$
$$\frac{x-1}{x^2-1}=0$$
Для равенства дроби нулю нужно, чтобы числитель был равен нулю, а знаменатель — не равен нулю:
$$x-1=0 \Rightarrow x=1$$
Но при $$x=1$$ знаменатель $$x^2-1=0$$, значит это значение не подходит. Корней нет.
$$\frac{1}{x-3}-\frac{1}{(x-2)(x-3)}=0$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{x-2-1}{(x-2)(x-3)}=0$$
$$\frac{x-3}{(x-2)(x-3)}=0$$
Числитель равен нулю при $$x=3$$, но это значение не входит в ОДЗ:
$$x\ne 2,\; x\ne 3$$
Следовательно, корней нет.

Ответ

$$x=10$$
$$x=\frac{1}{8}$$
корней нет
корней нет

Ход решения

Система $$\begin{cases}x>2\\x<7\end{cases}$$ даёт:
$$2<x<7$$
Целые решения:
$$x=\{3;4;5;6\}$$
Система $$\begin{cases}x\le 3\\x>-1\end{cases}$$ даёт:
$$-1<x\le 3$$
Целые решения:
$$x=\{0;1;2;3\}$$
Система $$\begin{cases}x\le 2{,}7\\x\ge 0\end{cases}$$ даёт:
$$0\le x\le 2{,}7$$
Целые решения:
$$x=\{0;1;2\}$$
Система $$\begin{cases}x\ge -5{,}1\\x<5{,}1\end{cases}$$ даёт:
$$-5{,}1\le x<5{,}1$$
Целые решения:
$$x=\{-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5\}$$