Упр.11 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Сократить дробь: 1) $$\frac{3m(1-x)}{9m^2(x-1)^2}$$; 2) $$\frac{8a^2b(a-b)}{4a^3b(b-a)^2}$$; 3) $$\frac{(a-b)^2}{a-b}$$; 4) $$\frac{m-n}{(n-m)^2}$$.
2. Доказать, что при любом $$a$$ значение выражения положительно: 1) $$2-\frac{1}{a^2+1}$$; 2) $$a^2+\frac{1-a^2}{1+a^2}$$; 3) $$(3a+2)^2-6a(a+2)$$; 4) $$(2a-3)^2-3a(a-4)$$.

1. Сократим дробь:

   $$\frac{3m(1-x)}{9m^2(x-1)^2}=\frac{3m\cdot (-(x-1))}{9m^2(x-1)^2}=-\frac{1}{3m(x-1)}=\frac{1}{3m(1-x)}.$$

2. $$\frac{8a^2b(a-b)}{4a^3b(b-a)^2}=\frac{2(a-b)}{a(b-a)^2}.$$

   Так как $$b-a=-(a-b),$$ то $$(b-a)^2=(a-b)^2.$$ Тогда

   $$\frac{2(a-b)}{a(a-b)^2}=\frac{2}{a(a-b)}.$$

3. $$\frac{(a-b)^2}{a-b}=a-b.$$

4. $$\frac{m-n}{(n-m)^2}=\frac{m-n}{(m-n)^2}=\frac{1}{m-n}.$$

Докажем, что при любом $$a$$ значение выражения положительно.

1. $$2-\frac{1}{a^2+1}=\frac{2(a^2+1)-1}{a^2+1}=\frac{2a^2+1}{a^2+1}>0,$$

   так как $$2a^2+1>0$$ и $$a^2+1>0.$$

2. $$a^2+\frac{1-a^2}{1+a^2}=\frac{a^2(1+a^2)+1-a^2}{1+a^2}=\frac{a^4+1}{1+a^2}>0,$$

   так как $$a^4+1>0$$ и $$1+a^2>0.$$

3. $$(3a+2)^2-6a(a+2)=9a^2+12a+4-6a^2-12a=3a^2+4>0.$$

4. $$(2a-3)^2-3a(a-4)=4a^2-12a+9-3a^2+12a=a^2+9>0.$$

Ответ

1) $$\frac{1}{3m(1-x)}$$; 2) $$\frac{2}{a(a-b)}$$; 3) $$a-b$$; 4) $$\frac{1}{m-n}$$.
Во всех четырёх случаях выражение положительно.