Упр.107 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) 2-1/(a^2+1);
2) a^2+(1-a^2)/(1+a^2 );
3) (3a+2)^2-6a(a+2);
4) (2a-3)^2-3a(a-4).
Построить график функции y=3-2x. С помощью графика найти значения x, при которых точки графика лежат:
1) выше оси абсцисс; 2) выше прямой y=2;
3) ниже оси абсцисс; 4) ниже прямой y=4.
Результаты проверить, составляя и решая соответствующие неравенства.

1) Преобразуем выражение:

$$2-\frac{1}{a^2+1}=\frac{2(a^2+1)-1}{a^2+1}=\frac{2a^2+1}{a^2+1}.$$

Так как $$2a^2+1>0$$ и $$a^2+1>0$$ при любом $$a$$, то

$$\frac{2a^2+1}{a^2+1}>0.$$

2) Имеем:

$$a^2+\frac{1-a^2}{1+a^2}=\frac{a^2(1+a^2)+1-a^2}{1+a^2}=\frac{a^2+a^4+1-a^2}{1+a^2}=\frac{1+a^4}{1+a^2}.$$

Так как $$1+a^4>0$$ и $$1+a^2>0$$, то

$$\frac{1+a^4}{1+a^2}>0.$$

3) Раскроем скобки:

$$ (3a+2)^2-6a(a+2)=9a^2+12a+4-6a^2-12a=3a^2+4. $$

Поскольку $$3a^2\ge 0$$ и $$4>0$$, то

$$3a^2+4>0.$$

4) Аналогично:

$$ (2a-3)^2-3a(a-4)=4a^2-12a+9-3a^2+12a=a^2+9. $$

Так как $$a^2\ge 0$$ и $$9>0$$, то

$$a^2+9>0.$$

Построим график функции $$y=3-2x$$. Это прямая, проходящая через точки $$ (0;3) $$ и $$ (1{,}5;0) $$.

По графику и соответствующим неравенствам получаем:

1. выше оси абсцисс: $$3-2x>0$$, значит $$x<1{,}5$$;
2. выше прямой $$y=2$$: $$3-2x>2$$, значит $$x<0{,}5$$;
3. ниже оси абсцисс: $$3-2x<0$$, значит $$x>1{,}5$$;
4. ниже прямой $$y=4$$: $$3-2x<4$$, значит $$x>-0{,}5$$.

Ответ

1) $$\frac{2a^2+1}{a^2+1}>0$$; 2) $$\frac{1+a^4}{1+a^2}>0$$; 3) $$3a^2+4>0$$; 4) $$a^2+9>0$$.

Для графика $$y=3-2x$$: 1) $$x<1{,}5$$; 2) $$x<0{,}5$$; 3) $$x>1{,}5$$; 4) $$x>-0{,}5$$.