Упр.107 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Доказать, что при любом $$a$$ значение выражения положительно:
1) $$2-\frac{1}{a^2+1}$$;
2) $$a^2+\frac{1-a^2}{1+a^2}$$;
3) $$(3a+2)^2-6a(a+2)$$;
4) $$(2a-3)^2-3a(a-4)$$. - Построить график функции $$y=3-2x$$. С помощью графика найти значения $$x$$, при которых точки графика лежат:
1) выше оси абсцисс;
2) выше прямой $$y=2$$;
3) ниже оси абсцисс;
4) ниже прямой $$y=4$$.
Результаты проверить, составляя и решая соответствующие неравенства.
1) Преобразуем выражение:
$$2-\frac{1}{a^2+1}=\frac{2(a^2+1)-1}{a^2+1}=\frac{2a^2+1}{a^2+1}.$$
Так как $$2a^2+1>0$$ и $$a^2+1>0$$ при любом $$a$$, то
$$\frac{2a^2+1}{a^2+1}>0.$$
2) Имеем:
$$a^2+\frac{1-a^2}{1+a^2}=\frac{a^2(1+a^2)+1-a^2}{1+a^2}=\frac{a^2+a^4+1-a^2}{1+a^2}=\frac{1+a^4}{1+a^2}.$$
Так как $$1+a^4>0$$ и $$1+a^2>0$$, то
$$\frac{1+a^4}{1+a^2}>0.$$
3) Раскроем скобки:
$$(3a+2)^2-6a(a+2)=9a^2+12a+4-6a^2-12a=3a^2+4.$$
Поскольку $$3a^2\ge 0$$ и $$4>0$$, то
$$3a^2+4>0.$$
4) Аналогично:
$$(2a-3)^2-3a(a-4)=4a^2-12a+9-3a^2+12a=a^2+9.$$
Так как $$a^2\ge 0$$ и $$9>0$$, то
$$a^2+9>0.$$
Построим график функции $$y=3-2x$$. Это прямая, проходящая через точки $$(0;3)$$ и $$(1{,}5;0)$$.
По графику и соответствующим неравенствам получаем:
- выше оси абсцисс: $$3-2x>0$$, значит $$x<1{,}5$$;
- выше прямой $$y=2$$: $$3-2x>2$$, значит $$x<0{,}5$$;
- ниже оси абсцисс: $$3-2x<0$$, значит $$x>1{,}5$$;
- ниже прямой $$y=4$$: $$3-2x<4$$, значит $$x>-0{,}5$$.
Ответ
1) $$\frac{2a^2+1}{a^2+1}>0$$; 2) $$\frac{1+a^4}{1+a^2}>0$$; 3) $$3a^2+4>0$$; 4) $$a^2+9>0$$.
Для графика $$y=3-2x$$: 1) $$x<1{,}5$$; 2) $$x<0{,}5$$; 3) $$x>1{,}5$$; 4) $$x>-0{,}5$$.
