Упр.103 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Пусть $$a>0$$, $$b<0$$. Доказать, что:
   1) $$2a(a+3b)>0$$;
   2) $$(a+b)(2a+b)>0$$.
2. Решить неравенство:
   1) $$(x-1)^2+7>(x+4)^2$$;
   2) $$(1+x)^2+3x^2<(2x-1)^2+7$$;
   3) $$(x+3)(x-2)?(x+2)(x-3)$$;
   4) $$(x+1)(x-4)+4?(x+2)(x-3)-x$$.

1) Пусть $$a>0,\; b<0.$$ Тогда $$2a>0,$$ а также $$a+3b>0$$ не следует из данных, поэтому в исходном тексте здесь, вероятно, опечатка. Если же требуется доказать положительность произведения при условии $$a>0,\; b>0,$$ то:

$$2a>0,\qquad a+3b>0,$$

следовательно, произведение двух положительных чисел положительно:

$$2a(a+3b)>0.$$

2) Аналогично, при $$a>0,\; b>0$$ имеем:

$$a+b>0,\qquad 2a+b>0,$$

поэтому

$$(a+b)(2a+b)>0.$$

3)

$$(x-1)^2+7>(x+4)^2$$

Раскроем скобки:

$$x^2-2x+1+7>x^2+8x+16$$

$$-2x-8x>16-8$$

$$-10x>8$$

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

$$x<-\frac45$$

4)

$$(1+x)^2+3x^2<(2x-1)^2+7$$

$$1+2x+x^2+3x^2<4x^2-4x+1+7$$

$$4x^2+2x<4x^2-4x+8$$

$$6x<7$$

$$x<\frac76$$

5)

$$(x+3)(x-2)\ge (x+2)(x-3)$$

$$x^2+x-6\ge x^2-x-6$$

$$2x\ge 0$$

$$x\ge 0$$

6)

$$(x+1)(x-4)+4\ge (x+2)(x-3)-x$$

$$x^2-3x-4+4\ge x^2-x-6-x$$

$$x^2-3x\ge x^2-2x-6$$

$$-x\ge -6$$

$$x\le 6$$

Ответ

1) При $$a>0,\; b>0$$: $$2a(a+3b)>0$$; 2) при $$a>0,\; b>0$$: $$(a+b)(2a+b)>0$$; 3) $$x<-\frac45$$; 4) $$x<\frac76$$; 5) $$x\ge 0$$; 6) $$x\le 6$$.