Упр.103 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) 2a(a+3b)>0; 2) (a+b)(2a+b)>0. Решить неравенство:
1) (x-1)^2+7>(x+4)^2;
2) (1+x)^2+3x^2<(2x-1)^2+7; 3) (x+3)(x-2)?(x+2)(x-3); 4) (x+1)(x-4)+4?(x+2)(x-3)-x.

1) Пусть $$a>0,\; b<0.$$ Тогда $$2a>0,$$ а также $$a+3b>0$$ не следует из данных, поэтому в исходном тексте здесь, вероятно, опечатка. Если же требуется доказать положительность произведения при условии $$a>0,\; b>0,$$ то:

$$2a>0,\qquad a+3b>0,$$

следовательно, произведение двух положительных чисел положительно:

$$2a(a+3b)>0.$$

2) Аналогично, при $$a>0,\; b>0$$ имеем:

$$a+b>0,\qquad 2a+b>0,$$

поэтому

$$ (a+b)(2a+b)>0.$$

3)

$$ (x-1)^2+7>(x+4)^2 $$

Раскроем скобки:

$$ x^2-2x+1+7>x^2+8x+16 $$

$$ -2x-8x>16-8 $$

$$ -10x>8 $$

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

$$ x<-\frac45 $$

4)

$$ (1+x)^2+3x^2<(2x-1)^2+7 $$

$$ 1+2x+x^2+3x^2<4x^2-4x+1+7 $$

$$ 4x^2+2x<4x^2-4x+8 $$

$$ 6x<7 $$

$$ x<\frac76 $$

5)

$$ (x+3)(x-2)\ge (x+2)(x-3) $$

$$ x^2+x-6\ge x^2-x-6 $$

$$ 2x\ge 0 $$

$$ x\ge 0 $$

6)

$$ (x+1)(x-4)+4\ge (x+2)(x-3)-x $$

$$ x^2-3x-4+4\ge x^2-x-6-x $$

$$ x^2-3x\ge x^2-2x-6 $$

$$ -x\ge -6 $$

$$ x\le 6 $$

Ответ

1) При $$a>0,\; b>0$$: $$2a(a+3b)>0$$; 2) при $$a>0,\; b>0$$: $$(a+b)(2a+b)>0$$; 3) $$x<-\frac45$$; 4) $$x<\frac76$$; 5) $$x\ge 0$$; 6) $$x\le 6$$.