Проверьте себя (тест) Глава 1 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)
- Найдите значение дроби $$\frac{ab}{a-b}$$ при $$a=-1,\ b=0{,}5$$.
- Для каждой дроби укажите множество допустимых значений переменной.
Дроби Множества допустимых значений А) $$\frac{x-3}{x-2}$$ 1) $$x\ne-3$$ Б) $$\frac{x+3}{x+2}$$ 2) $$x\ne-2$$ В) $$\frac{x-2}{x+3}$$ 3) $$x\ne2$$ Г) $$\frac{x+2}{x-3}$$ 4) $$x\ne3$$ - Сократите дробь $$\frac{a^2b-ab}{a^2b+ab^2}$$.
- Сократите дробь $$\frac{a^2-x^2}{ax-x^2}$$.
- Укажите выражение, равное дроби $$\frac{a-b}{a-c}$$.
- 1) $$\frac{b-a}{a-c}$$
- 2) $$\frac{a-b}{c-a}$$
- 3) $$-\frac{b-a}{c-a}$$
- 4) $$\frac{b-a}{c-a}$$
- Найдите сумму дробей: $$\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}$$.
- Представьте в виде дроби выражение $$\frac{2m^2}{m+1}-2m$$.
- Выполните деление: $$\frac{x^2-y^2}{2x^2}:\frac{xy-y^2}{x}$$.
- Упростите выражение $$\left(\frac{a}{a-b}-1\right):\left(\frac{a}{a+b}-1\right)$$.
- Какое из выражений равно степени $$5^{-n}$$?
- 1) $$-\frac{1}{5^n}$$
- 2) $$\frac{1}{5^n}$$
- 3) $$-5^{-n}$$
- 4) $$-\frac{1}{5^{-n}}$$
- На координатной прямой точкой отмечено число $$a$$. Сравните числа $$a$$ и $$a^{-1}$$.
- 1) $$a<a^{-1}$$
- 2) $$a>a^{-1}$$
- 3) $$a=a^{-1}$$
- 4) Невозможно сравнить.
- Миллиардные доли единиц обозначаются приставкой «нано-». Например, $$1$$ нанометр $$=10^{-9}\ \text{м}$$. Выразите эту величину в мм.
- 1) $$10^{-3}\ \text{мм}$$
- 2) $$10^{-7}\ \text{мм}$$
- 3) $$10^{-6}\ \text{мм}$$
- 4) $$10^{-12}\ \text{мм}$$
- Укажите наименьшее из чисел.
- 1) $$1{,}2\cdot10^{-8}$$
- 2) $$5{,}6\cdot10^{-8}$$
- 3) $$1{,}2\cdot10^{-9}$$
- 4) $$5{,}6\cdot10^{-9}$$
- Сократите дробь $$\frac{2^n+2^{n-2}}{2^{n-4}}$$.
- Решите уравнение $$\frac{x-1}{2}-\frac{x}{5}=\frac{1}{2}$$.
- Все имеющиеся на учительском столе карандаши можно разложить поровну в 3 большие коробки или в 5 маленьких. В маленькую коробку помещается на 6 карандашей меньше, чем в большую. Сколько карандашей на учительском столе? Решая эту задачу, три ученика обозначили буквой $$x$$ разные величины и составили разные уравнения, причём все они были правильными. Соотнесите введённое обозначение с уравнением.
Введённые обозначения Уравнения А) $$x$$ — число карандашей в маленькой коробке 1) $$\frac{x}{3}-\frac{x}{5}=6$$ Б) $$x$$ — число карандашей в большой коробке 2) $$5x=3(x+6)$$ В) $$x$$ — число карандашей на учительском столе 3) $$3x=5(x-6)$$
$$\frac{ab}{a-b}=\frac{-1\cdot 0{,}5}{-1-0{,}5}=\frac{-0{,}5}{-1{,}5}=\frac{1}{3}.$$
Для дроби знаменатель не должен быть равен нулю:
А) $$x-2\ne 0,\quad x\ne 2$$ — 3)
Б) $$x+2\ne 0,\quad x\ne -2$$ — 2)
В) $$x+3\ne 0,\quad x\ne -3$$ — 1)
Г) $$x-3\ne 0,\quad x\ne 3$$ — 4)
$$\frac{a^2b-ab}{a^2b+ab^2}=\frac{ab(a-1)}{ab(a+b)}=\frac{a-1}{a+b}.$$
$$\frac{a^2-x^2}{ax-x^2}=\frac{(a-x)(a+x)}{x(a-x)}=\frac{a+x}{x}.$$
$$\frac{a-b}{a-c}=\frac{b-a}{c-a}.$$
Подходит вариант 4).
$$\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}=\frac{(x+3)^2+(x-3)^2}{(x-3)(x+3)}$$
$$=\frac{x^2+6x+9+x^2-6x+9}{x^2-9}=\frac{2x^2+18}{x^2-9}.$$
$$\frac{2m^2}{m+1}-2m=\frac{2m^2-2m(m+1)}{m+1}=\frac{2m^2-2m^2-2m}{m+1}=-\frac{2m}{m+1}.$$
$$\frac{x^2-y^2}{2x^2}:\frac{xy-y^2}{x}=\frac{x^2-y^2}{2x^2}\cdot\frac{x}{xy-y^2}$$
$$=\frac{(x-y)(x+y)}{2x^2}\cdot\frac{x}{y(x-y)}=\frac{x+y}{2xy}.$$
$$\left(\frac{a}{a-b}-1\right):\left(\frac{a}{a+b}-1\right)$$
$$=\frac{a-(a-b)}{a-b}:\frac{a-(a+b)}{a+b}=\frac{b}{a-b}:\frac{-b}{a+b}$$
$$=\frac{b}{a-b}\cdot\frac{a+b}{-b}=\frac{a+b}{b-a}.$$
$$5^{-n}=\frac{1}{5^n}.$$
Подходит вариант 2).
Если $$0<a<1,$$ то $$a^{-1}=\frac{1}{a}>1,$$ значит $$a<a^{-1}.$$
Подходит вариант 1).
$$1\text{ нм}=10^{-9}\text{ м}=10^{-9}\cdot 10^3\text{ мм}=10^{-6}\text{ мм}.$$
Подходит вариант 3).
Сравним числа по показателям степени:
$$1{,}2\cdot 10^{-8},\quad 5{,}6\cdot 10^{-8},\quad 1{,}2\cdot 10^{-9},\quad 5{,}6\cdot 10^{-9}.$$
Наименьшее число — $$1{,}2\cdot 10^{-9}.$$
$$\frac{2^n+2^{n-2}}{2^{n-4}}=\frac{2^n\left(1+2^{-2}\right)}{2^{n-4}}=\frac{2^n\left(1+\frac14\right)}{2^{n-4}}$$
$$=\frac{2^n\cdot \frac54}{2^n\cdot \frac{1}{16}}=\frac54\cdot 16=20.$$
$$\frac{x-1}{2}-\frac{x}{5}=\frac12$$
Умножим на 10:
$$5(x-1)-2x=5$$
$$5x-5-2x=5$$
$$3x=10$$
$$x=\frac{10}{3}=3\frac13.$$
А) Если $$x$$ — число карандашей в маленькой коробке, то в большой коробке $$x+6$$ карандашей:
$$5x=3(x+6).$$
Б) Если $$x$$ — число карандашей в большой коробке, то в маленькой коробке $$x-6$$ карандашей:
$$3x=5(x-6).$$
В) Если $$x$$ — число карандашей на столе, то в больших коробках $$\frac{x}{3}$$ карандашей, а в маленьких $$\frac{x}{5}$$, поэтому:
$$\frac{x}{3}-\frac{x}{5}=6.$$
Ответ
1) $$\frac13$$; 2) А–3, Б–2, В–1, Г–4; 3) $$\frac{a-1}{a+b}$$; 4) $$\frac{a+x}{x}$$; 5) 4; 6) $$\frac{2x^2+18}{x^2-9}$$; 7) $$-\frac{2m}{m+1}$$; 8) $$\frac{x+y}{2xy}$$; 9) $$\frac{a+b}{b-a}$$; 10) 2; 11) 1; 12) 3; 13) $$1{,}2\cdot 10^{-9}$$; 14) 20; 15) $$x=\frac{10}{3}$$; 16) А–2, Б–3, В–1.
