Проверьте себя (тест) Глава 3 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)
- Решите уравнение $$2x^2-13x+21=0$$.
- Соотнесите каждое уравнение с числом его корней.
А) $$x^2+3x-10=0$$;
Б) $$x^2-3x+3=0$$;
В) $$4x^2+4x+1=0$$.
1) один корень; 2) два корня; 3) нет корней. - При каких значениях переменной $$x$$ дробь $$\frac{x-2}{x^2+4x-21}$$ не имеет смысла?
- Найдите корни уравнения $$5x^2-8=(x-4)(3x-1)+8x$$.
- Дано уравнение $$x^2+2x+c=0$$, где $$c$$ — некоторое число, $$x$$ — переменная. Найдите значение $$c$$, при котором один из корней уравнения равен 6.
- При каком из данных значений $$c$$ уравнение $$x^2-8x+c=0$$ не имеет корней?
1) 5; 2) 7; 3) 16; 4) 20. - Сколько корней имеет уравнение $$(2x^2-3x+2)(2x^2-x-2)=0$$?
- При каких значениях $$a$$ и $$c$$ уравнение $$ax^2+c=0$$ не имеет решения?
1) $$a>0,\ c=0$$; 2) $$a>0,\ c<0$$; 3) $$a<0,\ c<0$$; 4) $$a<0,\ c>0$$. - Решите уравнение $$2x^2=\frac{1}{2}$$.
- Решите уравнение $$x^2=3x$$.
- Найдите значения $$x$$, при которых значения выражений $$x-x^3$$ и $$2x-5x^3$$ равны.
- Какое из следующих уравнений является биквадратным уравнением?
1) $$x^4+3x^2+x=0$$; 2) $$x^4+5x^3-6=0$$; 3) $$x^4+x-5=0$$; 4) $$x^4+x^2+1=0$$. - Найдите значения $$x$$, при которых выполняется равенство $$x^4=8x^2+9$$.
- Укажите корни уравнения $$x^2+(m-n)x-mn=0$$.
1) $$x_1=m,\ x_2=n$$; 2) $$x_1=-m,\ x_2=-n$$; 3) $$x_1=-m,\ x_2=n$$; 4) $$x_1=m,\ x_2=-n$$. - Разложите, если возможно, на множители квадратный трёхчлен $$2x^2+15x+25$$.
1) это невозможно; 2) $$(x+5)(2x+5)$$; 3) $$(x+5)(x+2{,}5)$$; 4) $$2(x+5)(x+0{,}5)$$. - Прочитайте задачу: «Одно число на 5 меньше другого. Сумма большего числа и квадрата меньшего равна 17. Найдите эти числа». Обозначьте меньшее число буквой $$x$$. Какое уравнение соответствует условию задачи?
1) $$x^2+11x+8=0$$; 2) $$x^2+x-12=0$$; 3) $$x^2-9x+8=0$$; 4) $$x^2+x-22=0$$. - Решите задачу, условие которой сформулировано в предыдущем задании.
- С вертолёта, летящего на высоте 120 м, на луг сброшен груз с начальной скоростью 10 м/с. Через сколько секунд приземлится? Воспользуйтесь формулой $$h=vt+5t^2$$.
1) через 12 с; 2) через 10 с; 3) через 6 с; 4) через 4 с.
- $$2x^2-13x+21=0$$
$$D=169-4\cdot 2\cdot 21=169-168=1$$
$$x_{1,2}=\frac{13\pm 1}{4}$$
$$x_1=3,\quad x_2=\frac{7}{2}$$Ответ: $$x=3;\ x=3{,}5.$$
А) $$x^2+3x-10=0$$
$$D=9+40=49>0$$
Два корня — 2).
Б) $$x^2-3x+3=0$$
$$D=9-12=-3<0$$
Корней нет — 3).
В) $$4x^2+4x+1=0$$
$$D=16-16=0$$
Один корень — 1).
Ответ: А — 2), Б — 3), В — 1).
- $$\frac{x-2}{x^2+4x-21}=\frac{x-2}{(x+7)(x-3)}$$
$$x^2+4x-21\ne 0$$
$$x\ne -7,\quad x\ne 3$$Ответ: при $$x=-7$$ и $$x=3$$.
- $$5x^2-8=(x-4)(3x-1)+8x$$
$$5x^2-8=3x^2-x-12x+4+8x$$
$$5x^2-8=3x^2-5x+4$$
$$2x^2+5x-12=0$$
$$D=25+96=121$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 11}{4}$$
$$x_1=-4,\quad x_2=\frac{3}{2}$$Ответ: $$x=-4;\ x=1{,}5.$$
Пусть второй корень равен $$x_2$$. Тогда
$$x_1+x_2=-2$$
$$6+x_2=-2$$
$$x_2=-8$$
$$x_1x_2=c$$
$$c=6\cdot(-8)=-48$$Ответ: $$c=-48.$$
- $$x^2-8x+c=0$$
$$D=64-4c$$Чтобы корней не было, нужно $$D<0$$.
$$64-4c<0$$ $$c>16$$
Из данных значений подходит $$20$$.
Ответ: 4).
- $$(2x^2-3x+2)(2x^2-x-2)=0$$
Первое уравнение:
$$2x^2-3x+2=0$$
$$D=9-16=-7<0$$Корней нет.
Второе уравнение:
$$2x^2-x-2=0$$
$$D=1+16=17>0$$Два корня.
Ответ: 2 корня.
- $$ax^2+c=0$$
Решения нет, если уравнение сводится к противоречию.
Это происходит при $$a<0,\ c<0$$, так как тогда
$$ax^2=-c$$
$$-c>0,\quad ax^2\le 0$$равенство невозможно.
Ответ: 3).
- $$2x^2=\frac12$$
$$4x^2=1$$
$$x^2=\frac14$$
$$x=\pm \frac12$$Ответ: $$x=\pm \frac12.$$
- $$x^2=3x$$
$$x^2-3x=0$$
$$x(x-3)=0$$
$$x=0\quad \text{или}\quad x=3$$Ответ: $$x=0;\ x=3.$$
- $$x-x^3=2x-5x^3$$
$$x-x^3-2x+5x^3=0$$
$$4x^3-x=0$$
$$x(4x^2-1)=0$$
$$x=0,\quad 4x^2=1$$
$$x=\pm \frac12$$Ответ: $$x=0;\ x=\pm \frac12.$$
Биквадратное уравнение имеет вид $$ax^4+bx^2+c=0$$.
Ответ: 4).
- $$x^4=8x^2+9$$
$$x^4-8x^2-9=0$$Пусть $$y=x^2$$. Тогда
$$y^2-8y-9=0$$
$$D=64+36=100$$
$$y_{1,2}=\frac{8\pm 10}{2}$$
$$y_1=9,\quad y_2=-1$$
$$x^2=9,\quad x^2=-1$$Второе уравнение решений не имеет, поэтому
$$x=\pm 3$$
Ответ: $$x=\pm 3.$$
- $$x^2+(m-n)x-mn=0$$
$$x^2+(m-n)x-mn=(x-m)(x+n)$$Следовательно, корни:
$$x_1=m,\quad x_2=-n$$
Ответ: 4).
- $$2x^2+15x+25=0$$
$$D=225-200=25$$
$$x_{1,2}=\frac{-15\pm 5}{4}$$
$$x_1=-5,\quad x_2=-\frac52$$
$$2x^2+15x+25=(2x+5)(x+5)$$Ответ: 2).
Пусть меньшее число равно $$x$$, тогда большее — $$x+5$$.
$$x^2+(x+5)=17$$
$$x^2+x-12=0$$Ответ: 2).
- $$x^2+x-12=0$$
$$D=1+48=49$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}$$
$$x_1=-4,\quad x_2=3$$Тогда числа:
$$-4\ \text{и}\ 1$$
$$3\ \text{и}\ 8$$Ответ: $$-4$$ и $$1$$; $$3$$ и $$8$$.
Пусть груз приземлится через $$t$$ секунд. Тогда
$$120=10t+5t^2$$
$$t^2+2t-24=0$$
$$D=4+96=100$$
$$t_{1,2}=\frac{-2\pm 10}{2}$$
$$t_1=-6,\quad t_2=4$$Подходит только положительное значение.
Ответ: 4).
