Проверьте себя (тест) Глава 3 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

2. Соотнесите каждое уравнение с числом его корней.
А) x^2+3x-10=0; Б) x^2-3x+3=0; В) 4x^2+4x+1=0.
1) один корень; 2) два корня; 3) нет корней.
3. При каких значениях переменной x дробь (x-2)/(x^2+4x-21) не имеет смысла?
4. Найдите корни уравнения 5x^2-8=(x-4)(3x-1)+8x.
5. Дано уравнение x^2+2x+c=0, где c — некоторое число, x — переменная. Найдите знаение c, при котором один из корней уравнения равен 6.
6. При каком из данных значений c уравнение x^2-8x+c=0 не имеет корней?
1) 5 2) 7 3) 16 4) 20
7. Сколько корней имеет уравнение (2x^2-3x+2)(2x^2-x-2)=0?
8. При каких значениях a и c уравнение ax^2+c=0 не имеет решения?
1) a > 0,c=0; 2) a > 0,c < 0; 3) a < 0,c < 0; 4) a < 0,c > 0.
9. Решите уравнение 2x^2=1/2.
10. Решите уравнение x^2=3x.
11. Найдите значения x, при которых значения выражений x-x^3 и 2x-5x^3 равны.
12. Какое из следующих уравнений является биквадратным уравнением?
1) x^4+3x^2+x=0; 2) x^4+5x^3-6=0;
3) x^4+x-5=0; 4) x^4+x^2+1=0.
13. Найдите значения x, при которых выполняется равенство x^4=8x^2+9.
14. Укажите корни уравнения x^2+(m-n)x-mn=0.
1) x_1=m,x_2=n; 2) x_1=-m,x_2=-n;
3) x_1=-m,x_2=n; 4) x_1=m,x_2=-n.
15. Разложите, если возможно, на множители квадратный трехчлен 2x^2+15x+25.
1) это невозможно 2) (x+5)(2x+5)
3) (x+5)(x+2,5) 4) 2(x+5)(x+0,5)
16. Прочитайте задачу: «Одно число на 5 меньше другого. Сумма большего числа и квадрата меньшего равна 17. Найдите эти числа». Обозначьте меньшее число буквой x. Какое уравнение соответствует условию задачи?
1) x^2+11x+8=0; 2) x^2+x-12=0;
3) x^2-9x+8=0; 4) x^2+x-22=0.
17. Решите задачу, условие которой сформулированов предыдущем задании.
18. С вертолета, летящего на высоте 120 м, на луг сброшен груз с начальной скоростью 10 м/с. Через сколько секунд приземлится? (Воспользуйтесь формулой h=vt+5t^2).
1) через 12 с 2) через 10 с
3) через 6 с 4) через 4 с

1. $$2x^2-13x+21=0$$
   $$D=169-4\cdot 2\cdot 21=169-168=1$$
   $$x_{1,2}=\frac{13\pm 1}{4}$$
   $$x_1=3,\quad x_2=\frac{7}{2}$$

   Ответ: $$x=3;\ x=3{,}5.$$

2. А) $$x^2+3x-10=0$$

   $$D=9+40=49>0$$

   Два корня — 2).

   Б) $$x^2-3x+3=0$$

   $$D=9-12=-3<0$$

   Корней нет — 3).

   В) $$4x^2+4x+1=0$$

   $$D=16-16=0$$

   Один корень — 1).

   Ответ: А — 2), Б — 3), В — 1).

3. $$\frac{x-2}{x^2+4x-21}=\frac{x-2}{(x+7)(x-3)}$$
   $$x^2+4x-21\ne 0$$
   $$x\ne -7,\quad x\ne 3$$

   Ответ: при $$x=-7$$ и $$x=3$$.

4. $$5x^2-8=(x-4)(3x-1)+8x$$
   $$5x^2-8=3x^2-x-12x+4+8x$$
   $$5x^2-8=3x^2-5x+4$$
   $$2x^2+5x-12=0$$
   $$D=25+96=121$$
   $$x_{1,2}=\frac{-5\pm 11}{4}$$
   $$x_1=-4,\quad x_2=\frac{3}{2}$$

   Ответ: $$x=-4;\ x=1{,}5.$$

5. Пусть второй корень равен $$x_2$$. Тогда

   $$x_1+x_2=-2$$
   $$6+x_2=-2$$
   $$x_2=-8$$
   $$x_1x_2=c$$
   $$c=6\cdot(-8)=-48$$

   Ответ: $$c=-48.$$

6. $$x^2-8x+c=0$$
   $$D=64-4c$$

   Чтобы корней не было, нужно $$D<0$$.

   $$64-4c<0$$ $$c>16$$

   Из данных значений подходит $$20$$.

   Ответ: 4).

7. $$(2x^2-3x+2)(2x^2-x-2)=0$$

   Первое уравнение:

   $$2x^2-3x+2=0$$
   $$D=9-16=-7<0$$

   Корней нет.

   Второе уравнение:

   $$2x^2-x-2=0$$
   $$D=1+16=17>0$$

   Два корня.

   Ответ: 2 корня.

8. $$ax^2+c=0$$

   Решения нет, если уравнение сводится к противоречию.

   Это происходит при $$a<0,\ c<0$$, так как тогда

   $$ax^2=-c$$
   $$-c>0,\quad ax^2\le 0$$

   равенство невозможно.

   Ответ: 3).

9. $$2x^2=\frac12$$
   $$4x^2=1$$
   $$x^2=\frac14$$
   $$x=\pm \frac12$$

   Ответ: $$x=\pm \frac12.$$

10. $$x^2=3x$$
    $$x^2-3x=0$$
    $$x(x-3)=0$$
    $$x=0\quad \text{или}\quad x=3$$

    Ответ: $$x=0;\ x=3.$$

11. $$x-x^3=2x-5x^3$$
    $$x-x^3-2x+5x^3=0$$
    $$4x^3-x=0$$
    $$x(4x^2-1)=0$$
    $$x=0,\quad 4x^2=1$$
    $$x=\pm \frac12$$

    Ответ: $$x=0;\ x=\pm \frac12.$$

12. Биквадратное уравнение имеет вид $$ax^4+bx^2+c=0$$.

    Ответ: 4).

13. $$x^4=8x^2+9$$
    $$x^4-8x^2-9=0$$

    Пусть $$y=x^2$$. Тогда

    $$y^2-8y-9=0$$
    $$D=64+36=100$$
    $$y_{1,2}=\frac{8\pm 10}{2}$$
    $$y_1=9,\quad y_2=-1$$
    $$x^2=9,\quad x^2=-1$$

    Второе уравнение решений не имеет, поэтому

    $$x=\pm 3$$

    Ответ: $$x=\pm 3.$$

14. $$x^2+(m-n)x-mn=0$$
    $$x^2+(m-n)x-mn=(x-m)(x+n)$$

    Следовательно, корни:

    $$x_1=m,\quad x_2=-n$$

    Ответ: 4).

15. $$2x^2+15x+25=0$$
    $$D=225-200=25$$
    $$x_{1,2}=\frac{-15\pm 5}{4}$$
    $$x_1=-5,\quad x_2=-\frac52$$
    $$2x^2+15x+25=(2x+5)(x+5)$$

    Ответ: 2).

16. Пусть меньшее число равно $$x$$, тогда большее — $$x+5$$.

    $$x^2+(x+5)=17$$
    $$x^2+x-12=0$$

    Ответ: 2).

17. $$x^2+x-12=0$$
    $$D=1+48=49$$
    $$x_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}$$
    $$x_1=-4,\quad x_2=3$$

    Тогда числа:

    $$-4\ \text{и}\ 1$$
    $$3\ \text{и}\ 8$$

    Ответ: $$-4$$ и $$1$$; $$3$$ и $$8$$.

18. Пусть груз приземлится через $$t$$ секунд. Тогда

    $$120=10t+5t^2$$
    $$t^2+2t-24=0$$
    $$D=4+96=100$$
    $$t_{1,2}=\frac{-2\pm 10}{2}$$
    $$t_1=-6,\quad t_2=4$$

    Подходит только положительное значение.

    Ответ: 4).