Это надо знать Глава 4 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

2. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Какие из следующих уравнений являются линейными:
x+y=0, 1/x-1/y=3, 2x-5y=8, y-x^2=6?
3. Что является графиком уравнения ax+by=c, где хотя бы один из коэффициентов a и b отличен от 0?
4. Найдите угловой коэффициент прямой 5x+2y=9.
5. Прямые, изображенные на рисунке 4.44, могут быть заданы уравнениями вида y=kx. Для каждой прямой укажите знак коэффициента k.
6. Каков геометрический смысл коэффициента l в уравнении y=kx+l? В какой точке пересекает ось y прямая y=3x-10?
7. Сформулируйте условие параллельности двух прямых, заданных уравнениями вида y=kx+l. Приведите примеры уравнений, задающих параллельные прямые.
8. Что называется решением система двух уравнений с двумя переменными? Является ли решением системы уравнений
{(x+2y=-5 пара чисел (3; -4)? (-1; -2)?
x-y=7)+
9. На примере системы уравнений {(2x-y=3 расскажите, как решают систему методом сложения.
7x+2y=16)+
10. Используя графические соображения, определите, какая система имеет единственное решение, какая система не имеет решений, какая система имеет бесконечное множество решений:
1) {3x-y=5, 6x-2y=10}; 2) {4x-y=8, 8x-y=8}; 3) {y=3x+9, 6x-2y=-24}.
В старом учебнике: Используя графические соображения, определите, какая система имеет единственное решение, какая система не имеет решений, какая система имеет бесконечное множество решений:
1) {(3x-y=5
6x-2y=10)+
2) {(4x-y=8
8x-y=8)+
3) {(y=3x+9
6x-2y=-27)+
11. На примере системы уравнений {(3x-4y=5 расскажите, как решают систему методом подстановки.
x-3y=0)+

1. Решением уравнения с двумя переменными называется всякая пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство.

   Для уравнения $$4x-y=4$$ получим $$y=4x-4$$. Тогда, например:

   при $$x=0$$, $$y=-4$$;
   при $$x=-1$$, $$y=-8$$;
   при $$x=1$$, $$y=0$$.

   Ответ: $$(0;\,-4),\;(-1;\,-8),\;(1;\,0).$$

2. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида $$ax+by=c,$$ где $$a,$$ $$b$$ и $$c$$ — произвольные числа.

   Линейные уравнения:

   $$x+y=0,\quad 2x-5y=8.$$

3. Графиком уравнения $$ax+by=c,$$ где хотя бы один из коэффициентов $$a$$ и $$b$$ отличен от нуля, является прямая.

4. Из уравнения $$5x+2y=9$$ выразим $$y$$:

   $$2y=9-5x$$
   $$y=-\frac{5}{2}x+\frac{9}{2}.$$

   Угловой коэффициент прямой: $$k=-\frac{5}{2}.$$

5. Для прямой вида $$y=kx$$ знак коэффициента $$k$$ определяет наклон прямой: при $$k>0$$ прямая возрастает, при $$k<0$$ убывает.

   Следовательно:

   прямая a — $$k<0$$;
   прямая b — $$k>0$$;
   прямая c — $$k>0$$;
   прямая d — $$k<0$$.

6. Коэффициент $$l$$ в уравнении $$y=kx+l$$ показывает ординату точки пересечения прямой с осью $$y$$.

   Для прямой $$y=3x-10$$ при $$x=0$$ получаем $$y=-10$$, значит, она пересекает ось $$y$$ в точке $$(0;\,-10).$$

7. Если у двух прямых вида $$y=kx+l$$ угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны.

   Примеры:

   $$y=\frac{2}{3}x+5 \quad \text{и} \quad y=\frac{2}{3}x-10,$$

   $$y=-3x-\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad y=-3x+7.$$

8. Решением системы двух уравнений с двумя переменными называется пара чисел, которая является решением каждого из уравнений системы.

   Проверим пару $$(3;\,-4):$$

   $$3+2\cdot(-4)=-5,$$
   $$3-(-4)=7.$$

   Пара $$(3;\,-4)$$ является решением системы.

   Проверим пару $$(-1;\,-2):$$

   $$-1+2\cdot(-2)=-5,$$
   $$-1-(-2)=1.$$

   Пара $$(-1;\,-2)$$ не является решением системы.

9. Решим систему методом сложения:

   $$\begin{cases} 2x-y=3,\\ 7x+2y=16. \end{cases}$$

   Умножим первое уравнение на $$2$$:

   $$\begin{cases} 4x-2y=6,\\ 7x+2y=16. \end{cases}$$

   Сложим уравнения:

   $$11x=22,$$
   $$x=2.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$2\cdot 2-y=3,$$
   $$y=1.$$

   Ответ: $$(2;\,1).$$

10. Определим количество решений по виду прямых.

    1) $$\begin{cases}3x-y=5,\\6x-2y=10.\end{cases}$$ Второе уравнение получается из первого умножением на $$2$$, значит, это одна и та же прямая. Бесконечно много решений.

    2) $$\begin{cases}4x-y=8,\\8x-y=8.\end{cases}$$ Угловые коэффициенты разные, значит, прямые пересекаются. Единственное решение.

    3) $$\begin{cases}y=3x+9,\\6x-2y=-24.\end{cases}$$ Преобразуем второе уравнение:

    $$6x-2y=-24 \;\Rightarrow\; 3x-y=-12 \;\Rightarrow\; y=3x+12.$$

    Прямые параллельны, решений нет.

11. Решим систему методом подстановки:

    $$\begin{cases} 3x-4y=5,\\ x-3y=0. \end{cases}$$

    Из второго уравнения:

    $$x=3y.$$

    Подставим в первое:

    $$3\cdot 3y-4y=5,$$
    $$5y=5,$$
    $$y=1.$$

    Тогда $$x=3.$$

Ответ

1) Решение уравнения с двумя переменными — пара значений переменных, обращающая уравнение в верное равенство; примеры: $$(0;\,-4),\;(-1;\,-8),\;(1;\,0).$$
2) Линейное уравнение: $$ax+by=c.$$ Линейные: $$x+y=0,\;2x-5y=8.$$
3) График — прямая.
4) $$k=-\frac{5}{2}.$$
5) $$a$$ — отрицательный, $$b$$ — положительный, $$c$$ — положительный, $$d$$ — отрицательный.
6) $$l$$ — ордината точки пересечения с осью $$y$$; точка пересечения $$y=3x-10$$ с осью $$y$$: $$(0;\,-10).$$
7) Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны.
8) Пара $$(3;\,-4)$$ — решение, пара $$(-1;\,-2)$$ — не решение.
9) $$x=2,\;y=1.$$
10) 1) бесконечно много решений; 2) единственное решение; 3) решений нет.
11) $$x=3,\;y=1.$$