Это надо знать Глава 3 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)
2. Запишите формулу корней квадратного уравнения ax^2+bx+c=0.
3. Сколько корней может иметь квадратное уравнение? Как это зависит от дискриминанта? Определите, сколько корней имеет уравнение:
а) 3x^2-7x-4=0; б) 2x^2+x+2=0; в) 4x^2-4x+1=0.
4. Запишите формулу корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом.
5. Приведите пример неполного квадратного уравнения вида ax^2+bx=0. Покажите на этом примере, как решаются уравнения такого вида. Сколько корней имеет уравнение вида ax^2+bx=0?
6. Приведите пример неполного квадратного уравнения вида ax^2+c=0. Покажите на этом примере, как решаются уравнения такого вида. Сколько корней может иметь уравнение вида ax^2+c=0?
7. Сформулируйте теорему Виета. Чему равны произведение и сумма корней уравнения x^2-27x+180=0?
8. Чему равны сумма и произведение корней неприведенного квадратного уравнения ax^2+bx+c=0? Определите знаки корней уравнения: а) 3x^2-5x+2=0; б) 2x^2+7x-3=0. В случае если корни имеют разные знаки, определите, модуль какого из них больше.
9. Приведите пример квадратного трехчлена. Запишите формулу для разложения на множители квадратного трехчлена ax^2+bx+c, корни которого равны x_1 и x_2. Разложите на множители многочлен -2x^2+x+3.
Квадратным называется уравнение вида $$ax^2+bx+c=0,$$ где $$a\ne 0.$$
Например, $$3x^2-5x+12=0,$$ здесь $$a=3,\; b=-5,\; c=12.$$
Формула корней квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$:
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, \qquad D=b^2-4ac.$$
Квадратное уравнение может иметь 2, 1 или 0 корней.
Если $$D>0,$$ то два корня; если $$D=0,$$ то один корень; если $$D<0,$$ то корней нет.
а) $$3x^2-7x-4=0$$
$$D=(-7)^2-4\cdot 3\cdot(-4)=49+48=97>0,$$ значит, два корня.б) $$2x^2+x+2=0$$
$$D=1-4\cdot 2\cdot 2=1-16=-15<0,$$ значит, корней нет.в) $$4x^2-4x+1=0$$
$$D=(-4)^2-4\cdot 4\cdot 1=16-16=0,$$ значит, один корень.Если второй коэффициент чётный, то удобно пользоваться формулой:
$$x=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{D_1}}{a}, \qquad D_1=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac.$$
Пример неполного квадратного уравнения вида $$ax^2+bx=0$$:
$$4x^2+16x=0$$
$$4x(x+4)=0$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad x+4=0,$$
$$x=-4.$$
Ответ: $$x=0,\; x=-4.$$
Уравнение такого вида имеет два корня.
Пример неполного квадратного уравнения вида $$ax^2+c=0$$:
$$4x^2-16=0$$
$$4x^2=16$$
$$x^2=4$$
$$x=\pm 2.$$
Ответ: $$x=\pm 2.$$
Уравнение такого вида может иметь два корня, если $$x^2>0,$$ или не иметь корней, если $$x^2<0.$$
Теорема Виета: для приведённого квадратного уравнения $$x^2+px+q=0$$ сумма корней равна $$-p,$$ а произведение корней равно $$q.$$
Для уравнения $$x^2-27x+180=0$$:
$$x_1+x_2=27,\qquad x_1x_2=180.$$
Для уравнения $$ax^2+bx+c=0$$:
$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}, \qquad x_1x_2=\frac{c}{a}.$$
а) $$3x^2-5x+2=0$$
$$x_1x_2=\frac{2}{3}, \qquad x_1+x_2=\frac{5}{3}.$$
Оба корня положительные.б) $$2x^2+7x-3=0$$
$$x_1x_2=-\frac{3}{2}, \qquad x_1+x_2=-\frac{7}{2}.$$
Корни разных знаков; при этом $$x_1<0,\; x_2>0,$$ и $$|x_1|>|x_2|.$$Пример квадратного трёхчлена: $$x^2+5x-4.$$
Если корни квадратного трёхчлена $$ax^2+bx+c$$ равны $$x_1$$ и $$x_2,$$ то
$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).$$
Разложим на множители многочлен $$-2x^2+x+3$$:
$$-2x^2+x+3=0$$
$$D=1+24=25,$$
$$x_1=\frac{-1-5}{-4}=\frac{3}{2}, \qquad x_2=\frac{-1+5}{-4}=-1.$$
Тогда
$$-2x^2+x+3=-2\left(x-\frac{3}{2}\right)(x+1)=(3-2x)(x+1).$$
Ответ
1) $$ax^2+bx+c=0,\; a\ne 0.$$ Пример: $$3x^2-5x+12=0,$$ $$a=3,\; b=-5,\; c=12.$$
2) $$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, \; D=b^2-4ac.$$
3) При $$D>0$$ — 2 корня, при $$D=0$$ — 1 корень, при $$D<0$$ — корней нет; для данных уравнений: а) 2 корня, б) корней нет, в) 1 корень.
4) $$x=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{D_1}}{a}, \; D_1=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac.$$
5) Пример: $$4x^2+16x=0,$$ корни $$x=0$$ и $$x=-4.$$
6) Пример: $$4x^2-16=0,$$ корни $$x=\pm 2.$$
7) $$x_1+x_2=27,\; x_1x_2=180.$$
8) а) оба корня положительные; б) корни разных знаков, $$x_1<0,\; x_2>0,\; |x_1|>|x_2|.$$
9) $$-2x^2+x+3=(3-2x)(x+1).$$
