Это надо уметь Глава 4 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

2. Является ли решением уравнения xy-x=18 пара чисел (-3;-5), (-5;-3), (2;10)?
3. Проходит ли прямая 3x-4y=48 через точку A (20;2)? через точку B (24;6)?
4. Вычислите координаты точек пересечения прямой 4x-5y=10 с осями координат.
5. Постройте график уравнения:
а) 9x-3y=6; в) y=1/3x; д) y=-5;
б) y=-4x+2; г) y=-x; е) x=4.
6. Решите систему уравнений:
а) {(5x+2y=8
3x-y=7)+
б) {(3x+4y=13
5x+2y=17)+
в) {(x-y=5
xy=14)+
7. Пользуясь рисунком 4.45, решите систему уравнений {(x^2+y^2=10
x+y=2)+
8. Вычислите координаты точки пересечения прямых 3x-y=2 и 2x-y=3.
9. Вычислите координаты точки пересечения прямой y=2+x и окружности x^2+y^2=10.
10. Три карандаша и пять авторучек вместе стоят 50 р., а шесть карандашей и три авторучки вместе стоят 51 р. Сколько стоит карандаш и авторучка в отдельности?
11. Найдите стороны прямоугольника, площадь которого равна 24 см^2, а периметр равен 20 см.

1. Уравнение $$7x+2y=14$$ можно записать так: $$2y=14-7x$$, значит $$y=7-3{,}5x$$.

   Возьмём, например, $$x=0$$, тогда $$y=7$$. При $$x=2$$ получаем $$y=0$$.

   Подходят пары $$ (0;7) $$ и $$ (2;0) $$.

2. Проверим пары для уравнения $$xy-x=18$$:

   $$(-3;-5):\quad (-3)\cdot(-5)-(-3)=15+3=18$$ — подходит.

   $$(-5;-3):\quad (-5)\cdot(-3)-(-5)=15+5=20$$ — не подходит.

   $$ (2;10):\quad 2\cdot10-2=20-2=18 $$ — подходит.

3. Проверим точки в уравнении $$3x-4y=48$$.

   Для $$A(20;2)$$: $$3\cdot20-4\cdot2=60-8=52\neq48$$, значит точка не лежит на прямой.

   Для $$B(24;6)$$: $$3\cdot24-4\cdot6=72-24=48$$, значит точка лежит на прямой.

4. Найдём точки пересечения прямой $$4x-5y=10$$ с осями координат.

   При $$y=0$$: $$4x=10$$, откуда $$x=2{,}5$$.

   При $$x=0$$: $$-5y=10$$, откуда $$y=-2$$.

   Точки пересечения: $$ (2{,}5;0) $$ и $$ (0;-2) $$.

5. Преобразуем уравнения к виду $$y=kx+b$$ или к уравнениям прямых:

   а) $$9x-3y=6 \Rightarrow y=3x-2$$;

   б) $$y=-4x+2$$;

   в) $$y=\frac13x$$;

   г) $$y=-x$$;

   д) $$y=-5$$;

   е) $$x=4$$.

6. а) $$\begin{cases}5x+2y=8\\3x-y=7\end{cases}$$

   Из второго уравнения $$y=3x-7$$. Подставим в первое:

   $$5x+2(3x-7)=8$$

   $$11x=22$$

   $$x=2,\quad y=3\cdot2-7=-1.$$

   Ответ: $$ (2;-1) $$.

   б) $$\begin{cases}3x+4y=13\\5x+2y=17\end{cases}$$

   Умножим второе уравнение на $$2$$:

   $$\begin{cases}3x+4y=13\\10x+4y=34\end{cases}$$

   Вычтем первое из второго:

   $$7x=21,\quad x=3.$$

   Тогда $$3\cdot3+4y=13$$, откуда $$4y=4$$ и $$y=1$$.

   Ответ: $$ (3;1) $$.

   в) $$\begin{cases}x-y=5\\xy=14\end{cases}$$

   Из первого уравнения $$x=5+y$$. Подставим во второе:

   $$y(5+y)=14$$

   $$y^2+5y-14=0$$

   $$D=25+56=81,\quad \sqrt D=9.$$

   $$y_1=\frac{-5-9}{2}=-7,\quad y_2=\frac{-5+9}{2}=2.$$

   Тогда $$x_1=5+(-7)=-2,\quad x_2=5+2=7.$$

   Ответ: $$(-2;-7)$$; $$ (7;2) $$.

7. Решим систему:

   $$\begin{cases}x^2+y^2=10\\x+y=2\end{cases}$$

   Из второго уравнения $$x=2-y$$. Подставим в первое:

   $$ (2-y)^2+y^2=10 $$

   $$4-4y+y^2+y^2=10$$

   $$2y^2-4y-6=0$$

   $$y^2-2y-3=0$$

   $$D=4+12=16,\quad \sqrt D=4.$$

   $$y_1=\frac{2-4}{2}=-1,\quad y_2=\frac{2+4}{2}=3.$$

   Тогда $$x_1=2-(-1)=3,\quad x_2=2-3=-1.$$

   Ответ: $$ (3;-1) $$; $$ (-1;3) $$.

8. Найдём точку пересечения прямых:

   $$\begin{cases}3x-y=2\\2x-y=3\end{cases}$$

   Вычтем второе уравнение из первого:

   $$x=-1.$$

   Подставим в $$2x-y=3$$:

   $$2\cdot(-1)-y=3,\quad -2-y=3,\quad y=-5.$$

   Ответ: $$(-1;-5)$$.

9. Решим систему:

   $$\begin{cases}y=x+2\\x^2+y^2=10\end{cases}$$

   Подставим $$y=x+2$$ во второе уравнение:

   $$x^2+(x+2)^2=10$$

   $$2x^2+4x-6=0$$

   $$x^2+2x-3=0$$

   $$D=4+12=16,\quad \sqrt D=4.$$

   $$x_1=\frac{-2-4}{2}=-3,\quad x_2=\frac{-2+4}{2}=1.$$

   Тогда $$y_1=-3+2=-1,\quad y_2=1+2=3.$$

   Ответ: $$(-3;-1)$$; $$ (1;3) $$.

10. Пусть карандаш стоит $$x$$ руб., а авторучка — $$y$$ руб. Тогда:

    $$\begin{cases}3x+5y=50\\6x+3y=51\end{cases}$$

    Умножим первое уравнение на $$2$$:

    $$\begin{cases}6x+10y=100\\6x+3y=51\end{cases}$$

    Вычтем второе из первого:

    $$7y=49,\quad y=7.$$

    Подставим в первое уравнение:

    $$3x+5\cdot7=50,\quad 3x=15,\quad x=5.$$

    Карандаш стоит $$5$$ руб., авторучка — $$7$$ руб.

11. Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$ см. Тогда:

    $$\begin{cases}ab=24\\2(a+b)=20\end{cases}$$

    Из второго уравнения $$a+b=10$$, значит $$a=10-b$$.

    Подставим в первое:

    $$b(10-b)=24$$

    $$b^2-10b+24=0$$

    $$D=100-96=4,\quad \sqrt D=2.$$

    $$b_1=\frac{10-2}{2}=4,\quad b_2=\frac{10+2}{2}=6.$$

    Тогда $$a_1=6,\quad a_2=4.$$

    Стороны прямоугольника: $$6$$ см и $$4$$ см.

Ответ

1) $$ (0;7) $$; $$ (2;0) $$.

2) Да: $$(-3;-5)$$ и $$ (2;10) $$; нет: $$(-5;-3)$$.

3) Точка $$A$$ не лежит на прямой, точка $$B$$ лежит на прямой.

4) $$ (0;-2) $$ и $$ (2{,}5;0) $$.

5) а) $$y=3x-2$$; б) $$y=-4x+2$$; в) $$y=\frac13x$$; г) $$y=-x$$; д) $$y=-5$$; е) $$x=4$$.

6) а) $$ (2;-1) $$; б) $$ (3;1) $$; в) $$(-2;-7)$$; $$ (7;2) $$.

7) $$ (3;-1) $$; $$ (-1;3) $$.

8) $$(-1;-5)$$.

9) $$(-3;-1)$$; $$ (1;3) $$.

10) Карандаш — $$5$$ руб., авторучка — $$7$$ руб.

11) $$6$$ см и $$4$$ см.