Это надо уметь Глава 3 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)
а) 3x^2+5x-2=0; б) x^2-2x-1=0; в) 4x^2-12x+9=0.
2. Вычислив дискриминант квадратного уравнения, определите: 1) имеет ли уравнение корни; 2) если имеют, то сколько; 3) рациональными или иррациональными числами являются корни:
а) 5x^2-11x+2=0; б) x^2+3x+5=0;
в) 2x^2-x-2=0; г) 9x^2+6x+1=0.
3. Решите уравнение:
а) 3x^2=2x+4; б) (x-1)(2x+3)=-2; в) (x^2+7)/2=4x.
4. Вокруг детской площадки прямоугольной формы сооружена изгородь, длина которой 30 м. Определите размеры площадки, если ее площадь равна 50 м^2.
5. Сумма n последовательных натуральных чисел, начиная с 1, вычисляется по формуле A=(n^2+n)/2. Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы в сумме получить 55?
6. Решите уравнение:
а) 3x^2-2x=0; б) 2x^2+3x=x^2; в) 2x^2-18=0;
г) 4x^2=9; д) 3x^2-9=0; е) 5x^2+1=0.
7. Укажите, чему равны произведение и сумма корней уравнения, и определите знаки корней:
а) x^2-7x+12=0; б) 2x^2+3x+1=0;
в) x^2-4x-32=0; г) 3x^2+11x-4=0.
8. Разложите, если возможно, на множители:
а) x^2+6x-7; б) 4x^2-9x+2; в) 3x^2-2x+1.
а) $$3x^2+5x-2=0$$
$$D=5^2-4\cdot 3\cdot(-2)=25+24=49$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{2\cdot 3}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=\frac13$$
б) $$x^2-2x-1=0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-1)=4+4=8$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt8}{2}=1\pm \sqrt2$$
в) $$4x^2-12x+9=0$$
$$D=(-12)^2-4\cdot 4\cdot 9=144-144=0$$
$$x=\frac{12}{2\cdot 4}=\frac32$$
а) $$5x^2-11x+2=0$$
$$D=(-11)^2-4\cdot 5\cdot 2=121-40=81>0$$
Уравнение имеет два корня, они рациональные.
б) $$x^2+3x+5=0$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 5=9-20=-11<0$$
Корней нет.
в) $$2x^2-x-2=0$$
$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=1+16=17>0$$
Уравнение имеет два корня, они иррациональные.
г) $$9x^2+6x+1=0$$
$$D=6^2-4\cdot 9\cdot 1=36-36=0$$
Уравнение имеет один корень, он рациональный.
а) $$3x^2=2x+4$$
$$3x^2-2x-4=0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-4)=4+48=52$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{52}}{6}=\frac{1\pm \sqrt{13}}{3}$$
б) $$ (x-1)(2x+3)=-2$$
$$2x^2+x-3=-2$$
$$2x^2+x-1=0$$
$$D=1-4\cdot 2\cdot(-1)=9$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=\frac12$$
в) $$\frac{x^2+7}{2}=4x$$
$$x^2+7=8x$$
$$x^2-8x+7=0$$
$$D=64-28=36$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=7$$
Пусть одна сторона площадки равна $$x$$ м, тогда другая равна $$15-x$$ м.
Составим уравнение:
$$x(15-x)=50$$
$$x^2-15x+50=0$$
$$D=225-200=25$$
$$x_{1,2}=\frac{15\pm 5}{2}$$
$$x_1=10,\quad x_2=5$$
Размеры площадки: $$10$$ м и $$5$$ м.
$$\frac{n^2+n}{2}=55$$
$$n^2+n-110=0$$
$$D=1+440=441$$
$$n_{1,2}=\frac{-1\pm 21}{2}$$
$$n_1=10,\quad n_2=-11$$
Подходит только $$n=10$$.
а) $$3x^2-2x=0$$
$$x(3x-2)=0$$
$$x=0,\quad x=\frac23$$
б) $$2x^2+3x=x^2$$
$$x^2+3x=0$$
$$x(x+3)=0$$
$$x=0,\quad x=-3$$
в) $$2x^2-18=0$$
$$x^2=9$$
$$x=\pm 3$$
г) $$4x^2=9$$
$$x^2=\frac94$$
$$x=\pm \frac32$$
д) $$3x^2-9=0$$
$$x^2=3$$
$$x=\pm \sqrt3$$
е) $$5x^2+1=0$$
$$5x^2=-1$$
Действительных корней нет.
а) $$x^2-7x+12=0$$
$$x_1x_2=12,\quad x_1+x_2=7$$
Произведение положительное, сумма положительная, значит оба корня положительные.
б) $$2x^2+3x+1=0$$
$$x_1x_2=\frac12,\quad x_1+x_2=-\frac32$$
Произведение положительное, сумма отрицательная, значит оба корня отрицательные.
в) $$x^2-4x-32=0$$
$$x_1x_2=-32,\quad x_1+x_2=4$$
Произведение отрицательное, значит корни разных знаков.
г) $$3x^2+11x-4=0$$
$$x_1x_2=-\frac43,\quad x_1+x_2=-\frac{11}{3}$$
Произведение отрицательное, значит корни разных знаков.
а) $$x^2+6x-7$$
$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-7)=36+28=64$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm 8}{2}$$
$$x_1=-7,\quad x_2=1$$
$$x^2+6x-7=(x+7)(x-1)$$
б) $$4x^2-9x+2$$
$$D=(-9)^2-4\cdot 4\cdot 2=81-32=49$$
$$x_{1,2}=\frac{9\pm 7}{8}$$
$$x_1=\frac14,\quad x_2=2$$
$$4x^2-9x+2=(4x-1)(x-2)$$
в) $$3x^2-2x+1$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot 1=4-12=-8<0$$
Разложить на множители над действительными числами нельзя.
Ответ
1) а) $$x=-2,\ \frac13$$; б) $$x=1\pm \sqrt2$$; в) $$x=\frac32$$.
2) а) два корня, рациональные; б) корней нет; в) два корня, иррациональные; г) один корень, рациональный.
3) а) $$x=\frac{1\pm \sqrt{13}}{3}$$; б) $$x=-1,\ \frac12$$; в) $$x=1,\ 7$$.
4) $$10$$ м и $$5$$ м.
5) $$10$$ чисел.
6) а) $$x=0,\ \frac23$$; б) $$x=0,\ -3$$; в) $$x=\pm 3$$; г) $$x=\pm \frac32$$; д) $$x=\pm \sqrt3$$; е) корней нет.
7) а) оба корня положительные; б) оба корня отрицательные; в) корни разных знаков; г) корни разных знаков.
8) а) $$x^2+6x-7=(x+7)(x-1)$$; б) $$4x^2-9x+2=(4x-1)(x-2)$$; в) разложить невозможно.
