Упр.809(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)
- Постройте график функции и опишите её свойства:
а) $$y=\begin{cases}2x+3, & \text{если } x\leq 0,\\-x+1, & \text{если } x>0;\end{cases}$$
б) $$y=\begin{cases}1-3x, & \text{если } x\leq 1,\\x+2, & \text{если } x>1.\end{cases}$$
а) Функция задана по частям:
$$y=\begin{cases} 2x+3, & x\ge 0,\\ -x+1, & x\le 0. \end{cases}$$
Область определения: все числа, так как для каждого $$x$$ задано одно из двух выражений.
При $$x\le 0$$ график — луч прямой $$y=-x+1$$, проходящий через точку $$(0;1)$$ и убывающий влево.
При $$x\ge 0$$ график — луч прямой $$y=2x+3$$, проходящий через точку $$(0;3)$$ и возрастающий вправо.
Свойства функции:
- область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty);$$
- функция убывает при $$x\le 0;$$
- функция возрастает при $$x\ge 0;$$
- функция положительна, так как на обеих частях графика значения $$y$$ больше нуля.
б) Функция задана по частям:
$$y=\begin{cases} 1-3x, & x\le 1,\\ x+2, & x>1. \end{cases}$$
Область определения: все числа.
При $$x\le 1$$ график — луч прямой $$y=1-3x$$, проходящий через точку $$(1;-2)$$ и убывающий.
При $$x>1$$ график — луч прямой $$y=x+2$$, начинающийся справа от точки $$(1;3)$$ и возрастающий.
Найдём нули функции:
$$1-3x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac13.$$
Так как при $$x>1$$ выражение $$x+2>0$$, то нулей на этой части нет.
Свойства функции:
- область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty);$$
- функция убывает при $$x\le 1;$$
- функция возрастает при $$x>1;$$
- $$y=0$$ при $$x=\frac13;$$
- функция положительна при $$x<\frac13$$ и $$x>1;$$
- функция отрицательна при $$\frac13<x\le 1.$$
Ответ
а) $$D(y)=(-\infty;+\infty),$$ функция убывает при $$x\le 0,$$ возрастает при $$x\ge 0,$$ положительна.
б) $$D(y)=(-\infty;+\infty),$$ функция убывает при $$x\le 1,$$ возрастает при $$x>1,$$ $$y=0$$ при $$x=\frac13,$$ положительна при $$x<\frac13$$ и $$x>1,$$ отрицательна при $$\frac13<x\le 1.$$
