Упр.6.55 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

а) v3+v5 и v2+v6; в) v15+v17 и 8;
б) v5+v6 и v3+v8; г) 16 и v65+v63;
Совет. Воспользуйтесь рассуждением, приведённым в примере 4.

1. $$\sqrt{3}+\sqrt{5} \text{ и } \sqrt{2}+\sqrt{6}$$

   Допустим, что $$\sqrt{3}+\sqrt{5}>\sqrt{2}+\sqrt{6}>0.$$ Тогда

   $$\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)^2>\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)^2,$$

   $$3+2\sqrt{15}+5>2+2\sqrt{12}+6,$$

   $$2\sqrt{15}>2\sqrt{12}, \quad \sqrt{15}>\sqrt{12}.$$

   Это верно, значит

   $$\sqrt{3}+\sqrt{5}>\sqrt{2}+\sqrt{6}.$$

2. $$\sqrt{5}+\sqrt{6} \text{ и } \sqrt{3}+\sqrt{8}$$

   Допустим, что $$\sqrt{5}+\sqrt{6}>\sqrt{3}+\sqrt{8}>0.$$ Тогда

   $$\left(\sqrt{5}+\sqrt{6}\right)^2>\left(\sqrt{3}+\sqrt{8}\right)^2,$$

   $$5+2\sqrt{30}+6>3+2\sqrt{24}+8,$$

   $$2\sqrt{30}>2\sqrt{24}, \quad \sqrt{30}>\sqrt{24}.$$

   Это верно, значит

   $$\sqrt{5}+\sqrt{6}>\sqrt{3}+\sqrt{8}.$$

3. $$\sqrt{15}+\sqrt{17} \text{ и } 8$$

   Допустим, что $$\sqrt{15}+\sqrt{17}>8>0.$$ Тогда

   $$\left(\sqrt{15}+\sqrt{17}\right)^2>8^2,$$

   $$15+2\sqrt{255}+17>64,$$

   $$2\sqrt{255}>32, \quad \sqrt{255}>16.$$

   Но тогда

   $$255>16^2=256,$$

   что неверно. Значит,

   $$\sqrt{15}+\sqrt{17}<8.$$

4. $$16 \text{ и } \sqrt{65}+\sqrt{63}$$

   Допустим, что $$\sqrt{65}+\sqrt{63}>16>0.$$ Тогда

   $$\left(\sqrt{65}+\sqrt{63}\right)^2>16^2,$$

   $$65+2\sqrt{4095}+63>256,$$

   $$2\sqrt{4095}>128, \quad \sqrt{4095}>64.$$

   Но тогда

   $$4095>64^2=4096,$$

   что неверно. Значит,

   $$16>\sqrt{65}+\sqrt{63}.$$

Ответ

а) $$\sqrt{3}+\sqrt{5}>\sqrt{2}+\sqrt{6}$$; б) $$\sqrt{5}+\sqrt{6}>\sqrt{3}+\sqrt{8}$$; в) $$\sqrt{15}+\sqrt{17}<8$$; г) $$16>\sqrt{65}+\sqrt{63}$$.