Упр.6.52 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

а) если a > b > 0, то a^2+a > b^2+b;
б) если a > 1 и b > 0, то ab+a > b+1.
Подсказка. а) Способ 1. Сравните разность между левой и правой частями неравенства с нулём.
Способ 2. Воспользуйтесь неравенством, доказанным в примере 3.

а) Пусть $$a>b>0.$$

Способ 1. Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$ (a^2+a)-(b^2+b)=(a^2-b^2)+(a-b)=(a-b)(a+b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1). $$

Так как $$a-b>0,$$ $$a+b+1>0,$$ то

$$ (a^2+a)-(b^2+b)>0. $$

Значит, $$a^2+a>b^2+b.$$

Способ 2. Из $$a>b>0$$ следует, что $$a>b$$ и, значит, $$a^2>b^2.$$ Тогда

$$ a^2+a>b^2+a>b^2+b, $$

поскольку $$a>b.$$ Следовательно, $$a^2+a>b^2+b.$$

б) Пусть $$a>1$$ и $$b>0.$$

Способ 1. Найдём разность:

$$ (ab+a)-(b+1)=ab+a-b-1=b(a-1)+(a-1)=(b+1)(a-1). $$

Так как $$a-1>0$$ и $$b+1>0,$$ то

$$ (ab+a)-(b+1)>0. $$

Следовательно, $$ab+a>b+1.$$

Способ 2. Из $$a>1$$ и $$b>0$$ получаем $$ab>b.$$ Кроме того, из $$a>1$$ следует $$a>1.$$ Тогда

$$ ab+a>b+1. $$

Ответ

а) $$a^2+a>b^2+b$$; б) $$ab+a>b+1.$$