Упр.6.52 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

1. Докажите разными способами, что: а) если $$a>b>0$$, то $$a^2+a>b^2+b$$; б) если $$a>1$$ и $$b>0$$, то $$ab+a>b+1$$.

а) Пусть $$a>b>0.$$

Способ 1. Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$(a^2+a)-(b^2+b)=(a^2-b^2)+(a-b)=(a-b)(a+b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1).$$

Так как $$a-b>0,$$ $$a+b+1>0,$$ то

$$(a^2+a)-(b^2+b)>0.$$

Значит, $$a^2+a>b^2+b.$$

Способ 2. Из $$a>b>0$$ следует, что $$a>b$$ и, значит, $$a^2>b^2.$$ Тогда

$$a^2+a>b^2+a>b^2+b,$$

поскольку $$a>b.$$ Следовательно, $$a^2+a>b^2+b.$$

б) Пусть $$a>1$$ и $$b>0.$$

Способ 1. Найдём разность:

$$(ab+a)-(b+1)=ab+a-b-1=b(a-1)+(a-1)=(b+1)(a-1).$$

Так как $$a-1>0$$ и $$b+1>0,$$ то

$$(ab+a)-(b+1)>0.$$

Следовательно, $$ab+a>b+1.$$

Способ 2. Из $$a>1$$ и $$b>0$$ получаем $$ab>b.$$ Кроме того, из $$a>1$$ следует $$a>1.$$ Тогда

$$ab+a>b+1.$$

Ответ

а) $$a^2+a>b^2+b$$; б) $$ab+a>b+1.$$