Упр.6.51 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Сформулируйте словами доказанное свойство и конкретизируйте его примерами.

Пусть $$a>0$$. Докажем, что

$$a+\frac{1}{a}\ge 2.$$

Рассмотрим разность:

$$a+\frac{1}{a}-2=\frac{a^2-2a+1}{a}=\frac{(a-1)^2}{a}.$$

Так как $$a>0$$, то знаменатель положителен, а квадрат числа неотрицателен:

$$\frac{(a-1)^2}{a}\ge 0.$$

Значит,

$$a+\frac{1}{a}-2\ge 0,$$

откуда

$$a+\frac{1}{a}\ge 2.$$

Равенство достигается при $$a=1$$.

Словами это свойство можно сформулировать так: сумма положительного числа и обратного ему числа не меньше двух.

Примеры:

$$a=1:\quad 1+\frac{1}{1}=2;$$

$$a=2:\quad 2+\frac{1}{2}=2\frac{1}{2};$$

$$a=\frac{1}{3}:\quad \frac{1}{3}+3=3\frac{1}{3}.$$

Ответ

$$a+\frac{1}{a}\ge 2$$ при $$a>0$$, причём равенство выполняется только при $$a=1$$.