Упр.6.50 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

а) a^2+b^2?2ab; в) a^2+2ab+b^2?4ab; д) (a^2+1)/2?a;
б) (a+b)b?ab; г) a(a-b)?b(a-b); е) a/(a^2+1)?1/2.

1. а)

   $$a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\ge 0,$$
   значит,
   $$a^2+b^2\ge 2ab.$$

2. б)

   $$ (a+b)b-ab=b^2\ge 0,$$
   следовательно,
   $$ (a+b)b\ge ab.$$

3. в)

   $$a^2+2ab+b^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\ge 0,$$
   значит,
   $$a^2+2ab+b^2\ge 4ab.$$

4. г)

   $$a(a-b)-b(a-b)=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\ge 0,$$
   следовательно,
   $$a(a-b)\ge b(a-b).$$

5. д)

   $$\frac{a^2+1}{2}-a=\frac{a^2-2a+1}{2}=\frac{(a-1)^2}{2}\ge 0,$$
   значит,
   $$\frac{a^2+1}{2}\ge a.$$

6. е)

   $$\frac12-\frac{a}{a^2+1}=\frac{a^2+1-2a}{2(a^2+1)}=\frac{(a-1)^2}{2(a^2+1)}\ge 0,$$
   так как $$a^2+1>0$$ при любом $$a$$. Следовательно,
   $$\frac{a}{a^2+1}\le \frac12.$$

Ответ

а) $$a^2+b^2\ge 2ab$$; б) $$(a+b)b\ge ab$$; в) $$a^2+2ab+b^2\ge 4ab$$; г) $$a(a-b)\ge b(a-b)$$; д) $$\frac{a^2+1}{2}\ge a$$; е) $$\frac{a}{a^2+1}\le \frac12$$.