Упр.6.50 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что для любых чисел $$a$$ и $$b$$:
   а) $$a^2+b^2\geq 2ab$$;
   в) $$a^2+2ab+b^2\geq 4ab$$;
   д) $$\frac{a^2+1}{2}\geq a$$;
   б) $$(a+b)b\geq ab$$;
   г) $$a(a-b)\geq b(a-b)$$;
   е) $$\frac{a}{a^2+1}\leq\frac{1}{2}$$.

1. а)

   $$a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\ge 0,$$
   значит,
   $$a^2+b^2\ge 2ab.$$

2. б)

   $$(a+b)b-ab=b^2\ge 0,$$
   следовательно,
   $$(a+b)b\ge ab.$$

3. в)

   $$a^2+2ab+b^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\ge 0,$$
   значит,
   $$a^2+2ab+b^2\ge 4ab.$$

4. г)

   $$a(a-b)-b(a-b)=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\ge 0,$$
   следовательно,
   $$a(a-b)\ge b(a-b).$$

5. д)

   $$\frac{a^2+1}{2}-a=\frac{a^2-2a+1}{2}=\frac{(a-1)^2}{2}\ge 0,$$
   значит,
   $$\frac{a^2+1}{2}\ge a.$$

6. е)

   $$\frac12-\frac{a}{a^2+1}=\frac{a^2+1-2a}{2(a^2+1)}=\frac{(a-1)^2}{2(a^2+1)}\ge 0,$$
   так как $$a^2+1>0$$ при любом $$a$$. Следовательно,
   $$\frac{a}{a^2+1}\le \frac12.$$

Ответ

а) $$a^2+b^2\ge 2ab$$; б) $$(a+b)b\ge ab$$; в) $$a^2+2ab+b^2\ge 4ab$$; г) $$a(a-b)\ge b(a-b)$$; д) $$\frac{a^2+1}{2}\ge a$$; е) $$\frac{a}{a^2+1}\le \frac12$$.