Упр.567(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Задача

а) 3a/(a^3-1)-3/(a^2+a+1)-1/(a-1);
б) 2/(a+2)-6/(a^2-2a+4)-24/(a^3+8).

Подробный ответ

а) Приведём дроби к общему знаменателю $$a^3-1=(a-1)(a^2+a+1).$$

$$ \frac{3a}{a^3-1}-\frac{3}{a^2+a+1}-\frac{1}{a-1} = \frac{3a}{(a-1)(a^2+a+1)}-\frac{3(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)}-\frac{a^2+a+1}{(a-1)(a^2+a+1)} $$
$$ = \frac{3a-3(a-1)-(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{3a-3a+3-a^2-a-1}{a^3-1} = \frac{-a^2-a+2}{a^3-1}. $$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$ -a^2-a+2=-(a^2+a-2)=-(a+2)(a-1), $$
$$ a^3-1=(a-1)(a^2+a+1). $$

$$ \frac{- (a+2)(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)}=-\frac{a+2}{a^2+a+1}. $$

б) Используем разложение $$a^3+8=(a+2)(a^2-2a+4).$$ Тогда

$$ \frac{2}{a+2}-\frac{6}{a^2-2a+4}-\frac{24}{a^3+8} = \frac{2}{a+2}-\frac{6}{a^2-2a+4}-\frac{24}{(a+2)(a^2-2a+4)}. $$

Приведём к общему знаменателю $$ (a+2)(a^2-2a+4). $$

$$ \frac{2(a^2-2a+4)-6(a+2)-24}{(a+2)(a^2-2a+4)} = \frac{2a^2-4a+8-6a-12-24}{(a+2)(a^2-2a+4)} $$
$$ = \frac{2a^2-10a-28}{(a+2)(a^2-2a+4)} = \frac{2(a^2-5a-14)}{(a+2)(a^2-2a+4)} = \frac{2(a-7)(a+2)}{(a+2)(a^2-2a+4)}. $$

$$ \frac{2(a-7)}{a^2-2a+4}. $$