Упр.566(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Докажите, что:

а) $$\frac{a+2}{a-5}-\frac{3a}{a^2-7a+10}-\frac{2}{a-2}=\frac{3-a}{5-a}$$;

б) $$1+\frac{a-4}{a-3}-\frac{a}{a+4}-\frac{7a}{a^2+a-12}=\frac{a-7}{a-3}$$.

а) Разложим знаменатель на множители:

$$a^2-7a+10=(a-5)(a-2).$$

Тогда левая часть равна

$$\frac{a+2}{a-5}-\frac{3a}{(a-5)(a-2)}-\frac{2}{a-2} = \frac{(a+2)(a-2)-3a-2(a-5)}{(a-5)(a-2)}.$$

Упростим числитель:

$$(a+2)(a-2)-3a-2(a-5)=a^2-4-3a-2a+10=a^2-5a+6.$$

Разложим его на множители:

$$a^2-5a+6=(a-2)(a-3).$$

Значит,

$$\frac{a^2-5a+6}{(a-5)(a-2)}=\frac{(a-2)(a-3)}{(a-5)(a-2)}=\frac{a-3}{a-5}=\frac{3-a}{5-a}.$$

Что и требовалось доказать.

б) Разложим знаменатель:

$$a^2+a-12=(a+4)(a-3).$$

Тогда

$$1+\frac{a-4}{a-3}-\frac{a}{a+4}-\frac{7a}{(a+4)(a-3)} = \frac{(a+4)(a-3)+(a-4)(a+4)-a(a-3)-7a}{(a+4)(a-3)}.$$

Упростим числитель:

$$(a+4)(a-3)+(a-4)(a+4)-a(a-3)-7a$$

$$= a^2+a-12+a^2-16-a^2+3a-7a = a^2-3a-28.$$

Разложим на множители:

$$a^2-3a-28=(a-7)(a+4).$$

Тогда

$$\frac{(a-7)(a+4)}{(a+4)(a-3)}=\frac{a-7}{a-3}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

а) $$\frac{a+2}{a-5}-\frac{3a}{a^2-7a+10}-\frac{2}{a-2}=\frac{3-a}{5-a}$$; б) $$1+\frac{a-4}{a-3}-\frac{a}{a+4}-\frac{7a}{a^2+a-12}=\frac{a-7}{a-3}$$.