Упр.565(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Напишите два каких-нибудь квадратных трёхчлена, имеющие одни и те же корни, равные: а) $$-4$$ и $$5$$; б) $$-2$$ и $$-\frac{1}{3}$$; в) $$1\frac{1}{2}$$ и $$\frac{2}{3}$$.

Квадратный трёхчлен с заданными корнями можно составить в виде $$a(x-x_1)(x-x_2),$$ где $$a \ne 0.$$ Возьмём, например, $$a=1$$ и раскроем скобки.

1. Корни $$x=-4$$ и $$x=5$$:

   $$(x+4)(x-5)=x^2-x-20.$$

   Подойдёт, например, трёхчлен $$x^2-x-20.$$

2. Корни $$x=-2$$ и $$x=-\frac13$$:

   $$\left(x+2\right)\left(x+\frac13\right)=x^2+\frac73x+\frac23.$$

   Чтобы избавиться от дробей, умножим на $$3$$:

   $$3x^2+7x+2.$$

   Подойдёт, например, трёхчлен $$3x^2+7x+2.$$

3. Корни $$x=1\frac12=\frac32$$ и $$x=\frac23$$:

   $$\left(x-\frac32\right)\left(x-\frac23\right)=x^2-\frac{13}{6}x+1.$$

   Умножим на $$6$$:

   $$6x^2-13x+6.$$

   Подойдёт, например, трёхчлен $$6x^2-13x+6.$$

Ответ

а) $$x^2-x-20$$; б) $$3x^2+7x+2$$; в) $$6x^2-13x+6$$.