Упр.564(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

8. Дано уравнение $$x^2-39x+324=0$$. Не вычисляя корней $$x_1$$ и $$x_2$$ данного уравнения, найдите: $$\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2$$; $$x_1^2+x_2^2$$; $$\left(x_1-x_2\right)^2+4x_1x_2$$; $$x_1^3+x_2^3$$.

По теореме Виета для уравнения $$x^2-39x+324=0$$ имеем:

$$x_1+x_2=39,\qquad x_1x_2=324.$$

1. $$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=39^2-2\cdot324=1521-648=873.$$

2. $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=39^2-2\cdot324=873.$$

3. $$(x_1-x_2)^2+4x_1x_2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+4x_1x_2 =x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2=39^2=1521.$$

4. $$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)$$
   $$=39\bigl((x_1+x_2)^2-3x_1x_2\bigr) =39(39^2-3\cdot324) =39(1521-972) =39\cdot549=21411.$$

Ответ

$$873;\ 873;\ 1521;\ 21411.$$