Упр.560(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 8 класс, Просвещение: В Третьяковской галерее висит картина художника Богданова-Бельского «Устный счет». На классной доске записано выражение (?10?^2+?11?^2+?12?^2+?13?^2+?14?^2)/365. В числителе — сумма квадратов пяти последовательных чисел. Ученики могут найти значение этого выражения устно, если они заметят, что сумма квадратов первых трех из них равна сумме квадратов последних двух. Существуют ли еще пять последовательных целых чисел, которые обладают таким же свойством?

Пусть пять последовательных целых чисел имеют вид $$n-1,\; n,\; n+1,\; n+2,\; n+3.$$

По условию сумма квадратов первых трёх чисел равна сумме квадратов последних двух:

$$ (n-1)^2+n^2+(n+1)^2=(n+2)^2+(n+3)^2. $$

Раскроем скобки:

$$ n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1=n^2+4n+4+n^2+6n+9. $$

$$ 3n^2+2=2n^2+10n+13. $$

$$ n^2-10n-11=0. $$

Найдём корни уравнения:

$$ D=(-10)^2-4\cdot 1\cdot(-11)=100+44=144, $$

$$ n=\frac{10\pm 12}{2}. $$

Отсюда

$$ n_1=11,\qquad n_2=-1. $$

Тогда подходящие пять последовательных целых чисел:

$$ -2,\,-1,\,0,\,1,\,2 $$
и
$$ 10,\,11,\,12,\,13,\,14. $$

Ответ

Да, существуют: $$-2,\,-1,\,0,\,1,\,2$$ и $$10,\,11,\,12,\,13,\,14.$$